ogarniam.edu.pl
Klasa
Zacznij naukę →Zacznij →
Matematyka · powtórka działu · kl. 4

Prawdopodobieństwo – zależności i schematy – powtórka do sprawdzianu

ogarniam.edu.pl · Matematyka · klasa 4 LOściąga z działu · próbny test: ogarniam.edu.pl/lo/4/matematyka/powtorka/prawdopodobienstwo-zaleznosci-i-schematy/

Sprawdzian albo kartkówka z działu „Prawdopodobieństwo – zależności i schematy”? Przeczytaj ściągę, rozwiąż próbny test (12 pytań z odpowiedziami), a potem sprawdź się w teście z wynikiem i oceną.

Test z działu · 10 pytańPróbny sprawdzian na tej stronie ↓

Tematy w dziale

✎Ściąga z działu

Prawdopodobieństwo warunkowe (rozszerzenie)

  • P(A|B) = P(A ∩ B) przez P(B), gdzie P(A ∩ B) to szansa, że zaszły oba zdarzenia, a P(B) > 0.
  • P(A|B) to nie to samo co P(B|A). Zmienia się „mianownik”: dzielisz przez prawdopodobieństwo tego, co już wiesz.
  • P(A|B) czytamy „prawdopodobieństwo A pod warunkiem B”. To szansa na A, gdy wiesz, że zaszło B.

Niezależność i prawdopodobieństwo całkowite (rozszerzenie)

  • Gdy B₁, …, Bₙ są parami rozłączne, ich suma to cała Ω i P(Bᵢ) > 0, to P(A) = P(A|B₁) · P(B₁) + … + P(A|Bₙ) · P(Bₙ).
  • W twierdzeniu o prawdopodobieństwie całkowitym rozbijasz Ω na rozłączne części i dodajesz drogi drzewa, które kończą się w A.
  • Rozłączne to nie to samo co niezależne. Dla rozłącznych zdarzeń o dodatnich prawdopodobieństwach P(A ∩ B) = 0, a iloczyn P(A) · P(B) jest dodatni, więc są zależne.

Wzór Bayesa (rozszerzenie)

  • P(B|A) = P(A|B) · P(B) przez P(A|B) · P(B) + P(A|B′) · P(B′). Mianownik to P(A) z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym.
  • Wzór Bayesa zamienia P(A|B) na P(B|A). Mała częstość zjawiska (P(B)) może zepsuć wynik, nawet gdy test jest dobry.
  • Wada z której fabryki? Dane: F₂ daje 40% produkcji i 5% wad, a F₁ 60% i 2%. Wiemy, że wyrób ma wadę.

Schemat Bernoullego (rozszerzenie)

  • P(X = k) = (n po k) · pk · (1 − p)n − k, gdzie n to liczba prób, k żądana liczba sukcesów (0 ≤ k ≤ n), p szansa sukcesu w jednej próbie, a (n po k) liczba sposobów wyboru prób, w których są sukcesy.
  • Przy „co najmniej” i „najwyżej” dodaj kilka wartości P(X = k) albo użyj dopełnienia, co jest krótsze.
  • Próba Bernoullego ma dwa wyniki: sukces (z prawdopodobieństwem p) albo porażka (z prawdopodobieństwem 1 − p). Powtarzasz ją n razy niezależnie, przy stałym p.

?Próbny sprawdzian

Pytania z każdego tematu działu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź z wyjaśnieniem.

  1. Rzut kostką. A: szóstka, B: wynik parzysty. P(A|B) wynosi

    1. A1 przez 2
    2. B1 przez 6
    3. C1 przez 3
    4. D1
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 1 przez 3 – P(A|B) = 1 przez 6 przez 1 przez 2 = 1 przez 3. Wynik 1 to P(B|A).

  2. Ten sam rzut. P(B|A) wynosi

    1. A1 przez 6
    2. B1 przez 3
    3. C1
    4. D1 przez 2
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 1 – Jeśli wypadła szóstka, wynik na pewno jest parzysty.

  3. Wzór na prawdopodobieństwo warunkowe P(A|B) to

    1. AP(A ∩ B) przez P(B)
    2. BP(A ∩ B) przez P(A)
    3. CP(A) + P(B)
    4. DP(A) · P(B)
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: P(A ∩ B) przez P(B) – Dzielimy przez prawdopodobieństwo warunku B.

  4. Zdarzenia A i B są niezależne, gdy

    1. AP(A ∩ B) = P(A) · P(B)
    2. BP(A) = P(B)
    3. CP(A ∩ B) = 0
    4. DP(A ∪ B) = P(A) + P(B)
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: P(A ∩ B) = P(A) · P(B) – To definicja niezależności.

  5. Rzut kostką. A – parzysta, B – podzielna przez 3. Zdarzenia te są

    1. Arozłączne
    2. Bniezależne
    3. Czależne
    4. Dniemożliwe
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: niezależne – P(A ∩ B) = 1 przez 6 = 1 przez 2 · 1 przez 3.

  6. Rzut kostką. A – parzysta, B = {1, 2, 3}. Zdarzenia te są

    1. Arozłączne
    2. Bzależne
    3. Cprzeciwne
    4. Dniezależne
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: zależne – P(A ∩ B) = 1 przez 6, a P(A) · P(B) = 1 przez 4.

  7. Wzór Bayesa służy do

    1. Aodwrócenia warunku: z P(A|B) do P(B|A)
    2. Bdodawania zdarzeń rozłącznych
    3. Cliczenia kombinacji
    4. Dsprawdzania niezależności
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: odwrócenia warunku: z P(A|B) do P(B|A) – Pozwala ze znajomości skutku wnioskować o przyczynie.

  8. Fabryka F₂ daje 40% wyrobów, w tym 5% wadliwych, a F₁ 60% z 2% wadliwych. Wyrób ma wadę. P(z fabryki F₂) wynosi

    1. A2 przez 5
    2. B1 przez 20
    3. C3 przez 8
    4. D5 przez 8
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: 5 przez 8 – 0,02 przez 0,032 = 5 przez 8.

  9. P(B) = 0,1, P(A|B) = 0,8, P(A|B′) = 0,2. P(B|A) wynosi

    1. A4 przez 13
    2. B1 przez 10
    3. C4 przez 5
    4. D8 przez 13
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 4 przez 13 – 0,08 przez 0,08 + 0,18 = 4 przez 13.

  10. Trzy rzuty uczciwą monetą. P(dokładnie dwa orły) wynosi

    1. A1 przez 8
    2. B3 przez 8
    3. C1 przez 2
    4. D1 przez 4
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 3 przez 8 – (3 po 2) · (1 przez 2)³ = 3 przez 8.

  11. Strzelec trafia z p = 0,8. P(dokładnie 4 trafienia w 5 strzałach) wynosi

    1. A0,32768
    2. B0,4096
    3. C0,2048
    4. D2,048
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 0,4096 – 5 · 0,8⁴ · 0,2 = 0,4096. Wynik 0,32768 to P(5 trafień).

  12. Ten sam strzelec. P(wszystkie 5 trafień) wynosi

    1. A0,32768
    2. B0,2
    3. C0,8
    4. D0,4096
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 0,32768 – (5 po 5) · 0,8⁵ · 0,2⁰ = 0,32768.

Sprawdzian już blisko? Zrób test z całego działu

10 losowych pytań z tematów działu, wynik w procentach i ocena od 1 do 6. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Test z działu · 10 pytańWszystkie tematy: Matematyka