1Wzór
- Próba Bernoullego ma dwa wyniki: sukces (z prawdopodobieństwem p) albo porażka (z prawdopodobieństwem 1 − p). Powtarzasz ją n razy niezależnie, przy stałym p.
P(X = k) = (n po k) · pk · (1 − p)n − k, gdzie n to liczba prób, k żądana liczba sukcesów (0 ≤ k ≤ n), p szansa sukcesu w jednej próbie, a (n po k) liczba sposobów wyboru prób, w których są sukcesy.
W schemacie Bernoullego n oznacza
k to liczba sukcesów, p to szansa sukcesu w jednej próbie.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
2Przykłady krok po kroku
- Trzy rzuty monetą, dokładnie 2 orły. Dane: n = 3, k = 2, p = 1 przez 2 (sukces = orzeł).
- Wzór: P(X = 2) = (3 po 2) · (1 przez 2)² · (1 przez 2)¹.
- Obliczenia: 3 · 1 przez 4 · 1 przez 2 = 3 przez 8.
- Odpowiedź: 3 przez 8.
- Strzelec, p = 0,8, 5 strzałów, dokładnie 4 trafienia. Obliczenia: 5 · 0,8⁴ · 0,2 = 5 · 0,4096 · 0,2 = 0,4096.
- Co najmniej 4 trafienia: P(4) + P(5) = 0,4096 + 0,8⁵ = 0,4096 + 0,32768 = 0,73728.
- Cztery rzuty kostką, dokładnie dwie szóstki. p = 1 przez 6: (4 po 2) · (1 przez 6)² · (5 przez 6)² = 6 · 25 przez 1296 = 25 przez 216.
- Co najmniej jeden orzeł w 3 rzutach: dopełnienie, 1 − (1 przez 2)³ = 7 przez 8.
Przy „co najmniej” i „najwyżej” dodaj kilka wartości P(X = k) albo użyj dopełnienia, co jest krótsze.
Pominięcie czynnika (n po k) albo niezgodny wykładnik (1 − p). Wykładniki k i n − k muszą się sumować do n.
✎Ściąga: Schemat Bernoullego
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- P(X = k) = (n po k) · pk · (1 − p)n − k, gdzie n to liczba prób, k żądana liczba sukcesów (0 ≤ k ≤ n), p szansa sukcesu w jednej próbie, a (n po k) liczba sposobów wyboru prób, w których są sukcesy.
- Przy „co najmniej” i „najwyżej” dodaj kilka wartości P(X = k) albo użyj dopełnienia, co jest krótsze.
- Próba Bernoullego ma dwa wyniki: sukces (z prawdopodobieństwem p) albo porażka (z prawdopodobieństwem 1 − p). Powtarzasz ją n razy niezależnie, przy stałym p.
- Trzy rzuty monetą, dokładnie 2 orły. Dane: n = 3, k = 2, p = 1 przez 2 (sukces = orzeł).
- Strzelec, p = 0,8, 5 strzałów, dokładnie 4 trafienia. Obliczenia: 5 · 0,8⁴ · 0,2 = 5 · 0,4096 · 0,2 = 0,4096.
- Co najmniej 4 trafienia: P(4) + P(5) = 0,4096 + 0,8⁵ = 0,4096 + 0,32768 = 0,73728.
- Cztery rzuty kostką, dokładnie dwie szóstki. p = 1 przez 6: (4 po 2) · (1 przez 6)² · (5 przez 6)² = 6 · 25 przez 1296 = 25 przez 216.
- Co najmniej jeden orzeł w 3 rzutach: dopełnienie, 1 − (1 przez 2)³ = 7 przez 8.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Trzy rzuty uczciwą monetą. P(dokładnie dwa orły) wynosi
- A1 przez 8
- B3 przez 8
- C1 przez 2
- D1 przez 4
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 3 przez 8 – (3 po 2) · (1 przez 2)³ = 3 przez 8.
Strzelec trafia z p = 0,8. P(dokładnie 4 trafienia w 5 strzałach) wynosi
- A0,32768
- B0,4096
- C0,2048
- D2,048
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 0,4096 – 5 · 0,8⁴ · 0,2 = 0,4096. Wynik 0,32768 to P(5 trafień).
Ten sam strzelec. P(wszystkie 5 trafień) wynosi
- A0,32768
- B0,2
- C0,8
- D0,4096
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 0,32768 – (5 po 5) · 0,8⁵ · 0,2⁰ = 0,32768.
Ten sam strzelec. P(co najmniej 4 trafienia) wynosi
- A0,4096
- B0,73728
- C0,94
- D0,32768
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 0,73728 – P(4) + P(5) = 0,4096 + 0,32768 = 0,73728.
4 rzuty kostką. P(dokładnie dwie szóstki) wynosi
- A25 przez 1296
- B1 przez 6
- C25 przez 216
- D1 przez 36
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 25 przez 216 – 6 · 1 przez 36 · 25 przez 36 = 25 przez 216. Pominięcie (4 po 2) daje 25 przez 1296.
Co najmniej jeden orzeł w 3 rzutach to
- A1 − (1 przez 2)³ = 7 przez 8
- B(1 przez 2)³
- C3 · 1 przez 2
- D3 przez 8
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 1 − (1 przez 2)³ = 7 przez 8 – Dopełnieniem jest „same reszki”, czyli (1 przez 2)³.
W schemacie Bernoullego n oznacza
- Aliczbę porażek
- Bprawdopodobieństwo sukcesu
- Cliczbę sukcesów
- Dliczbę niezależnych prób
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: liczbę niezależnych prób – k to liczba sukcesów, p to szansa sukcesu w jednej próbie.
Schematu Bernoullego nie wolno użyć, gdy
- Aszansa sukcesu zmienia się między próbami
- Bsukces ma szansę 1 przez 2
- Cchcesz policzyć „co najmniej”
- Dliczba prób jest równa 10
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: szansa sukcesu zmienia się między próbami – Wzór wymaga niezależnych prób i stałego p (np. losowanie bez zwracania tego nie spełnia).
Cały dział „Prawdopodobieństwo – zależności i schematy”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.