ogarniam.edu.pl
Klasa
Zacznij naukę →Zacznij →

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Prawdopodobieństwo – zależności i schematyklasa 4 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/4/matematyka/prawdopodobienstwo-warunkowe/

Matematyka · Prawdopodobieństwo – zależności i schematy · kl. 4 · zakres rozszerzony

Prawdopodobieństwo warunkowe

Zakres rozszerzony: skoro wiesz, że coś już zaszło, szanse się zmieniają. Prawdopodobieństwo warunkowe liczy je w nowej, węższej sytuacji.

ok. 2 min czytania8 fiszek8 pytań w quizie🔊 Posłuchaj notatki

1Definicja

  • P(A|B) czytamy „prawdopodobieństwo A pod warunkiem B”. To szansa na A, gdy wiesz, że zaszło B.
Zapamiętaj

P(A|B) = P(A ∩ B) przez P(B), gdzie P(A ∩ B) to szansa, że zaszły oba zdarzenia, a P(B) > 0.

  • Z tego wynika wzór na iloczyn: P(A ∩ B) = P(A|B) · P(B).
123456B: wynik parzysty (3 pola)A: szóstkaΩ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}P(A|B) = (1/6) : (3/6) = 1/3
Po informacji o B zostają tylko 3 równie możliwe wyniki, z czego jeden sprzyja A.
Sprawdź, czy rozumiesz

Wzór na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń to

2Przykłady krok po kroku

  • Kostka. A: wypadła szóstka, B: wynik parzysty. Dane: P(A ∩ B) = 1 przez 6, P(B) = 1 przez 2. Obliczenia: P(A|B) = 1 przez 6 przez 1 przez 2 = 1 przez 3. Odwrotnie: P(B|A) = 1, bo szóstka jest parzysta.
  • Klasa 30 osób: 18 dziewcząt, 12 chłopców. Niemieckiego uczy się 10 osób, w tym 6 dziewcząt. P(dziewczyna | uczy się niemieckiego) = 6 przez 10 = 3 przez 5, ale P(uczy się niemieckiego | dziewczyna) = 6 przez 18 = 1 przez 3.
  • Urna 3B 2C, bez zwracania. P(druga biała | pierwsza biała) = 2 przez 4 = 1 przez 2, bo zostały 2 białe z 4 kul.
  • Z danych: P(B) = 0,4, P(A ∩ B) = 0,1. Wtedy P(A|B) = 0,1 przez 0,4 = 0,25. A dla dopełnienia P(A′|B) = 1 − P(A|B) = 0,75.
Zapamiętaj

P(A|B) to nie to samo co P(B|A). Zmienia się „mianownik”: dzielisz przez prawdopodobieństwo tego, co już wiesz.

Uwaga na błąd

Pomylenie P(A|B) z P(B|A). Szansa, że chory ma dodatni test, to nie szansa, że dodatni wynik oznacza chorobę.

✎Ściąga: Prawdopodobieństwo warunkowe

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

  • P(A|B) = P(A ∩ B) przez P(B), gdzie P(A ∩ B) to szansa, że zaszły oba zdarzenia, a P(B) > 0.
  • P(A|B) to nie to samo co P(B|A). Zmienia się „mianownik”: dzielisz przez prawdopodobieństwo tego, co już wiesz.
  • P(A|B) czytamy „prawdopodobieństwo A pod warunkiem B”. To szansa na A, gdy wiesz, że zaszło B.
  • Kostka. A: wypadła szóstka, B: wynik parzysty. Dane: P(A ∩ B) = 1 przez 6, P(B) = 1 przez 2. Obliczenia: P(A|B) = 1 przez 6 przez 1 przez 2 = 1 przez 3. Odwrotnie: P(B|A) = 1, bo szóstka jest parzysta.
  • Klasa 30 osób: 18 dziewcząt, 12 chłopców. Niemieckiego uczy się 10 osób, w tym 6 dziewcząt. P(dziewczyna | uczy się niemieckiego) = 6 przez 10 = 3 przez 5, ale P(uczy się niemieckiego | dziewczyna) = 6 przez 18 = 1 przez 3.
  • Urna 3B 2C, bez zwracania. P(druga biała | pierwsza biała) = 2 przez 4 = 1 przez 2, bo zostały 2 białe z 4 kul.
  • Z danych: P(B) = 0,4, P(A ∩ B) = 0,1. Wtedy P(A|B) = 0,1 przez 0,4 = 0,25. A dla dopełnienia P(A′|B) = 1 − P(A|B) = 0,75.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

  1. Rzut kostką. A: szóstka, B: wynik parzysty. P(A|B) wynosi

    1. A1 przez 2
    2. B1 przez 6
    3. C1 przez 3
    4. D1
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 1 przez 3 – P(A|B) = 1 przez 6 przez 1 przez 2 = 1 przez 3. Wynik 1 to P(B|A).

  2. Ten sam rzut. P(B|A) wynosi

    1. A1 przez 6
    2. B1 przez 3
    3. C1
    4. D1 przez 2
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 1 – Jeśli wypadła szóstka, wynik na pewno jest parzysty.

  3. Wzór na prawdopodobieństwo warunkowe P(A|B) to

    1. AP(A ∩ B) przez P(B)
    2. BP(A ∩ B) przez P(A)
    3. CP(A) + P(B)
    4. DP(A) · P(B)
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: P(A ∩ B) przez P(B) – Dzielimy przez prawdopodobieństwo warunku B.

  4. W klasie 18 dziewcząt i 12 chłopców, 10 osób uczy się niemieckiego (6 dziewcząt). P(dziewczyna | niemiecki) wynosi

    1. A6 przez 30
    2. B1 przez 3
    3. C1 przez 5
    4. D3 przez 5
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: 3 przez 5 – Wśród 10 uczących się niemieckiego jest 6 dziewcząt: 6 przez 10 = 3 przez 5. Wynik 1 przez 3 to P(niemiecki | dziewczyna).

  5. Z urny z 3 białymi i 2 czarnymi losujesz bez zwracania. P(druga biała, jeśli pierwsza była biała) wynosi

    1. A2 przez 5
    2. B3 przez 5
    3. C1 przez 2
    4. D3 przez 10
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 1 przez 2 – Po wyjęciu białej zostają 2 białe z 4: 2 przez 4 = 1 przez 2.

  6. P(B) = 0,4 i P(A ∩ B) = 0,1. Ile wynosi P(A|B)?

    1. A0,5
    2. B0,04
    3. C4
    4. D0,25
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: 0,25 – 0,1 przez 0,4 = 0,25.

  7. Jeśli P(A|B) = 0,25, to P(A′|B) wynosi

    1. A0,25
    2. B1,25
    3. C0,5
    4. D0,75
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: 0,75 – P(A′|B) = 1 − P(A|B) = 0,75.

  8. Wzór na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń to

    1. AP(A ∩ B) = P(A|B) · P(B)
    2. BP(A ∩ B) = P(A) przez P(B)
    3. CP(A ∩ B) = P(A) + P(B)
    4. DP(A ∩ B) = P(A|B) + P(B)
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: P(A ∩ B) = P(A|B) · P(B) – Wynika z przekształcenia definicji: mnożymy obie strony przez P(B).

Cały dział „Prawdopodobieństwo – zależności i schematy”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytańFiszki · 8🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 4

Reguła mnożenia i reguła dodawaniaZliczanie z warunkamiPermutacje, wariacje i kombinacjeWłasności symbolu Newtona i dowód zliczającyPrzestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzeniaKlasyczna definicja prawdopodobieństwaDoświadczenia wieloetapowe: ze zwracaniem i bezZdarzenie przeciwne i suma zdarzeńDrzewo stochastyczneNiezależność i prawdopodobieństwo całkowiteWzór BayesaSchemat BernoullegoGranica funkcji, granice jednostronne i ciągłośćObliczanie granic funkcjiWłasność Darboux i miejsca zerowePochodna funkcji: definicja i interpretacjeReguły różniczkowaniaMonotoniczność i ekstrema funkcjiStyczna do wykresu funkcjiOptymalizacja z pochodnąKombinatoryka i prawdopodobieństwo na maturze: jak to ugryźćPochodna na maturze: typy zadań i parametrOptymalizacja z funkcją kwadratowąMatura podstawowa: funkcje, ciągi i geometria w jednym miejscu