1Wzór
P(B|A) = P(A|B) · P(B) przez P(A|B) · P(B) + P(A|B′) · P(B′). Mianownik to P(A) z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym.
- B to przyczyna (np. fabryka, choroba), B′ to jej brak, A to zaobserwowany skutek.
2Przykłady krok po kroku
- Wada z której fabryki? Dane: F₂ daje 40% produkcji i 5% wad, a F₁ 60% i 2%. Wiemy, że wyrób ma wadę.
- Wzór: P(F₂|wada) = P(wada|F₂) · P(F₂) przez P(wada), a P(wada) = 0,032 (prawdopodobieństwo całkowite).
- Obliczenia: 0,05 · 0,4 przez 0,032 = 0,02 przez 0,032 = 5 przez 8.
- Odpowiedź: 62,5% wadliwych wyrobów pochodzi z F₂.
- Z danych: P(B) = 0,1, P(A|B) = 0,8, P(A|B′) = 0,2. Obliczenia: P(B|A) = 0,1 · 0,8 przez 0,1 · 0,8 + 0,9 · 0,2 = 0,08 przez 0,26 = 4 przez 13.
Fabryka F₂ daje 40% wyrobów, w tym 5% wadliwych, a F₁ 60% z 2% wadliwych. Wyrób ma wadę. P(z fabryki F₂) wynosi
0,02 przez 0,032 = 5 przez 8.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Test na rzadką chorobę
- Choroba dotyka 1% ludzi, test wykrywa ją u 95% chorych (czułość), ale daje fałszywy alarm u 5% zdrowych. Jak często dodatni wynik oznacza chorobę?
- Dla 10 000 osób: chorych 100, z nich 95 z wynikiem dodatnim. Zdrowych 9900, z nich 5% = 495 z dodatnim. Wszystkich dodatnich: 95 + 495 = 590.
- P(chory | dodatni) = 95 przez 590 = 19 przez 118 ≈ 0,16 (16%), mimo że test „jest w 95% skuteczny”.
Wzór Bayesa zamienia P(A|B) na P(B|A). Mała częstość zjawiska (P(B)) może zepsuć wynik, nawet gdy test jest dobry.
Pomylenie P(dodatni | chory) = 0,95 z P(chory | dodatni) ≈ 0,16.
✎Ściąga: Wzór Bayesa
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- P(B|A) = P(A|B) · P(B) przez P(A|B) · P(B) + P(A|B′) · P(B′). Mianownik to P(A) z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym.
- Wzór Bayesa zamienia P(A|B) na P(B|A). Mała częstość zjawiska (P(B)) może zepsuć wynik, nawet gdy test jest dobry.
- Wada z której fabryki? Dane: F₂ daje 40% produkcji i 5% wad, a F₁ 60% i 2%. Wiemy, że wyrób ma wadę.
- Z danych: P(B) = 0,1, P(A|B) = 0,8, P(A|B′) = 0,2. Obliczenia: P(B|A) = 0,1 · 0,8 przez 0,1 · 0,8 + 0,9 · 0,2 = 0,08 przez 0,26 = 4 przez 13.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Wzór Bayesa służy do
- Aodwrócenia warunku: z P(A|B) do P(B|A)
- Bdodawania zdarzeń rozłącznych
- Cliczenia kombinacji
- Dsprawdzania niezależności
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: odwrócenia warunku: z P(A|B) do P(B|A) – Pozwala ze znajomości skutku wnioskować o przyczynie.
Fabryka F₂ daje 40% wyrobów, w tym 5% wadliwych, a F₁ 60% z 2% wadliwych. Wyrób ma wadę. P(z fabryki F₂) wynosi
- A2 przez 5
- B1 przez 20
- C3 przez 8
- D5 przez 8
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 5 przez 8 – 0,02 przez 0,032 = 5 przez 8.
P(B) = 0,1, P(A|B) = 0,8, P(A|B′) = 0,2. P(B|A) wynosi
- A4 przez 13
- B1 przez 10
- C4 przez 5
- D8 przez 13
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 4 przez 13 – 0,08 przez 0,08 + 0,18 = 4 przez 13.
W mianowniku wzoru Bayesa stoi
- AP(A|B)
- BP(B)
- C1 − P(B)
- DP(A) obliczone z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: P(A) obliczone z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym – To szansa na zaobserwowany skutek A ze wszystkich dróg.
Choroba: 1% ludzi, czułość testu 95%, fałszywe alarmy u 5% zdrowych. Wśród 10 000 osób dodatnich wyników jest
- A95
- B1000
- C590
- D495
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 590 – 95 prawdziwych + 495 fałszywych = 590.
W tym teście P(chory | dodatni) wynosi około
- A5%
- B16%
- C95%
- D50%
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 16% – 95 przez 590 ≈ 0,16. Wynik 95% to czułość, czyli P(dodatni | chory).
Dlaczego przy rzadkiej chorobie większość dodatnich wyników bywa fałszywa?
- ASzanse są zawsze po 50%
- BTest nigdy nie działa
- CChorzy nie są badani
- DZdrowych jest znacznie więcej, więc 5% z nich to dużo osób
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: Zdrowych jest znacznie więcej, więc 5% z nich to dużo osób – Duża liczba zdrowych daje więcej fałszywych alarmów niż prawdziwych trafień wśród nielicznych chorych.
Jeśli A i B są niezależne, to P(B|A) równa się
- A0
- BP(B)
- C1
- DP(A)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: P(B) – Informacja o A nie zmienia szansy na B.
Cały dział „Prawdopodobieństwo – zależności i schematy”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.