1Zdarzenia niezależne
- A i B są niezależne, gdy P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Znajomość B nie zmienia szansy na A.
- Przykład: kostka, A – parzysta, B – podzielna przez 3. P(A ∩ B) = 1 przez 6 i P(A) · P(B) = 1 przez 2 · 1 przez 3 = 1 przez 6, więc są niezależne.
- Kontrprzykład: A – parzysta, B = {1, 2, 3}. P(A ∩ B) = 1 przez 6, ale P(A) · P(B) = 1 przez 4, więc zależne.
- Rozłączne to nie to samo co niezależne. Dla rozłącznych zdarzeń o dodatnich prawdopodobieństwach P(A ∩ B) = 0, a iloczyn P(A) · P(B) jest dodatni, więc są zależne.
- Dwa niezależne strzały z p = 0,8 i 0,7: oba trafione 0,8 · 0,7 = 0,56; choć jeden: 1 − 0,2 · 0,3 = 0,94.
Rzut kostką. A – parzysta, B – podzielna przez 3. Zdarzenia te są
P(A ∩ B) = 1 przez 6 = 1 przez 2 · 1 przez 3.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
2Prawdopodobieństwo całkowite
Gdy B₁, …, Bₙ są parami rozłączne, ich suma to cała Ω i P(Bᵢ) > 0, to P(A) = P(A|B₁) · P(B₁) + … + P(A|Bₙ) · P(Bₙ).
- Krok po kroku. Dane: P(F₁) = 0,6, P(F₂) = 0,4, P(wada|F₁) = 0,02, P(wada|F₂) = 0,05.
- Wzór: P(wada) = P(wada|F₁) · P(F₁) + P(wada|F₂) · P(F₂).
- Obliczenia: 0,02 · 0,6 + 0,05 · 0,4 = 0,012 + 0,020 = 0,032.
- Odpowiedź: wadliwy jest 3,2% wszystkich wyrobów.
W twierdzeniu o prawdopodobieństwie całkowitym rozbijasz Ω na rozłączne części i dodajesz drogi drzewa, które kończą się w A.
Uznanie zdarzeń rozłącznych za niezależne. Jeśli zaszło A, to B na pewno nie zaszło, czyli A wpływa na B.
✎Ściąga: Niezależność i prawdopodobieństwo całkowite
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Gdy B₁, …, Bₙ są parami rozłączne, ich suma to cała Ω i P(Bᵢ) > 0, to P(A) = P(A|B₁) · P(B₁) + … + P(A|Bₙ) · P(Bₙ).
- W twierdzeniu o prawdopodobieństwie całkowitym rozbijasz Ω na rozłączne części i dodajesz drogi drzewa, które kończą się w A.
- Rozłączne to nie to samo co niezależne. Dla rozłącznych zdarzeń o dodatnich prawdopodobieństwach P(A ∩ B) = 0, a iloczyn P(A) · P(B) jest dodatni, więc są zależne.
- Krok po kroku. Dane: P(F₁) = 0,6, P(F₂) = 0,4, P(wada|F₁) = 0,02, P(wada|F₂) = 0,05.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Zdarzenia A i B są niezależne, gdy
- AP(A ∩ B) = P(A) · P(B)
- BP(A) = P(B)
- CP(A ∩ B) = 0
- DP(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: P(A ∩ B) = P(A) · P(B) – To definicja niezależności.
Rzut kostką. A – parzysta, B – podzielna przez 3. Zdarzenia te są
- Arozłączne
- Bniezależne
- Czależne
- Dniemożliwe
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: niezależne – P(A ∩ B) = 1 przez 6 = 1 przez 2 · 1 przez 3.
Rzut kostką. A – parzysta, B = {1, 2, 3}. Zdarzenia te są
- Arozłączne
- Bzależne
- Cprzeciwne
- Dniezależne
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: zależne – P(A ∩ B) = 1 przez 6, a P(A) · P(B) = 1 przez 4.
Zdarzenia rozłączne o dodatnich prawdopodobieństwach są
- Apewne
- Bzależne
- Crówne
- Dniezależne
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: zależne – P(A ∩ B) = 0, a P(A) · P(B) > 0, więc iloczyn się nie zgadza.
Strzelec A trafia z p = 0,8, strzelec B z p = 0,7, niezależnie. P(obaj trafią) wynosi
- A0,56
- B0,94
- C0,1
- D1,5
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 0,56 – 0,8 · 0,7 = 0,56. Wynik 0,94 to „przynajmniej jeden trafi”.
Ci sami strzelcy. P(przynajmniej jeden trafi) wynosi
- A1,5
- B0,94
- C0,06
- D0,56
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 0,94 – 1 − (0,2 · 0,3) = 1 − 0,06 = 0,94.
Fabryki F₁ (60%, wady 2%) i F₂ (40%, wady 5%). P(losowy produkt ma wadę) wynosi
- A0,032
- B0,035
- C0,0012
- D0,07
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 0,032 – 0,6 · 0,02 + 0,4 · 0,05 = 0,012 + 0,02 = 0,032.
W twierdzeniu o prawdopodobieństwie całkowitym zdarzenia B₁, …, Bₙ muszą
- Abyć niezależne
- Bmieć równe prawdopodobieństwa
- Cbyć zdarzeniami niemożliwymi
- Dbyć parami rozłączne i dawać w sumie Ω
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: być parami rozłączne i dawać w sumie Ω – Tylko wtedy każdy wynik należy do dokładnie jednej części.
Cały dział „Prawdopodobieństwo – zależności i schematy”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.