ogarniam.edu.pl
Klasa
Zacznij naukę →Zacznij →
Matematyka · powtórka działu · kl. 3

Ciągi – powtórka do sprawdzianu

ogarniam.edu.pl · Matematyka · klasa 3 LOściąga z działu · próbny test: ogarniam.edu.pl/lo/3/matematyka/powtorka/ciagi/

Sprawdzian albo kartkówka z działu „Ciągi”? Przeczytaj ściągę, rozwiąż próbny test (12 pytań z odpowiedziami), a potem sprawdź się w teście z wynikiem i oceną.

Test z działu · 10 pytańPróbny sprawdzian na tej stronie ↓

Tematy w dziale

✎Ściąga z działu

Ciąg: wzór ogólny, rekurencja i monotoniczność

  • Wzór rekurencyjny podaje wyraz przez wyrazy wcześniejsze i zawsze potrzebuje warunku początkowego.
  • Ciąg to funkcja, której argumentami są kolejne numery n = 1, 2, 3, … (liczby całkowite dodatnie). Numerowi n odpowiada wyraz an.
  • Wzór ogólny pozwala policzyć dowolny wyraz od razu. Dla an = n2 − 3n: a1 = −⁠2, a2 = −⁠2, a3 = 0, a4 = 4.

Ciąg arytmetyczny i suma jego wyrazów

  • an = a1 + (n − 1) · r
  • Sn = a1 + an przez 2 · n, równoważnie Sn = 2a1 + (n − 1)r przez 2 · n
  • Krok po kroku. Dane: a3 = 7, a8 = 22. Szukamy r i a1.

Ciąg geometryczny i suma jego wyrazów

  • an = a1 · qn−⁠1
  • Dla q ≠ 1: Sn = a1 · 1 − qn przez 1 − q. Dla q = 1: Sn = n · a1.
  • Krok po kroku. Dane: suma 2 + 6 + 18 + 54.

Procent składany

  • Kn = K0 · (1 + p przez 100)n
  • Kapitalizacja to dopisanie odsetek do kapitału. W następnym okresie liczysz procent już od większej kwoty.

Granica ciągu (rozszerzenie)

  • Granica sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych to suma, różnica, iloczyn i iloraz granic (w ilorazie granica mianownika ≠ 0).
  • Granica lim an = g (g – liczba) znaczy: im większe n, tym bliżej g leżą wyrazy – dowolnie blisko. To nie jest „ostatni wyraz”, bo ciąg nie ma ostatniego wyrazu.
  • Krok po kroku. Dane: lim 3n2 + 1 przez n2 − 5. Najwyższa potęga n w mianowniku to n2.

Szereg geometryczny (rozszerzenie)

  • S = a1 przez 1 − q, ale tylko dla |q| < 1.
  • Szereg geometryczny to nieskończona suma a1 + a1q + a1q2 + …, a1 to pierwszy wyraz, q to iloraz.

?Próbny sprawdzian

Pytania z każdego tematu działu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź z wyjaśnieniem.

  1. Piąty wyraz ciągu an = 3n − 2 jest równy

    1. A15
    2. B17
    3. C13
    4. D10
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 13 – a5 = 3 · 5 − 2 = 13.

  2. Ciąg jest określony: a1 = 2, an+1 = an + 3. Wyraz a4 jest równy

    1. A8
    2. B14
    3. C9
    4. D11
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: 11 – Kolejno: 2, 5, 8, 11.

  3. Ciąg jest określony: a1 = 1, an+1 = 2an. Wyraz a5 jest równy

    1. A16
    2. B8
    3. C32
    4. D10
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 16 – Kolejno: 1, 2, 4, 8, 16.

  4. W ciągu arytmetycznym a1 = 4 i r = 3. Wyraz a10 jest równy

    1. A31
    2. B27
    3. C34
    4. D40
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 31 – a10 = 4 + 9 · 3 = 31.

  5. Suma 1 + 2 + 3 + … + 100 jest równa

    1. A5050
    2. B10100
    3. C5000
    4. D5051
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 5050 – S100 = 100 · (1 + 100) przez 2 = 5050.

  6. W ciągu arytmetycznym a3 = 7 i a8 = 22. Różnica r jest równa

    1. A3
    2. B2
    3. C5
    4. D15
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 3 – a8 − a3 = 5r = 15, więc r = 3.

  7. W ciągu geometrycznym a1 = 2 i q = 3. Wyraz a4 jest równy

    1. A54
    2. B18
    3. C162
    4. D24
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 54 – a4 = 2 · 33 = 54.

  8. Iloraz ciągu geometrycznego 81, 27, 9, … jest równy

    1. A−⁠54
    2. B1 przez 3
    3. C1 przez 9
    4. D3
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 1 przez 3 – q = 27 przez 81 = 1 przez 3.

  9. Liczby x, 6, 9 tworzą (w tej kolejności) ciąg geometryczny. Liczba x jest równa

    1. A7,5
    2. B3
    3. C4
    4. D13,5
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 4 – Z warunku 62 = x · 9 mamy x = 4. Wartość 3 dałby warunek ciągu arytmetycznego.

  10. Kwota 1000 zł oprocentowana 5% w okresie, po 2 okresach kapitalizacji, wynosi

    1. A1100,00 zł
    2. B1050,00 zł
    3. C1102,50 zł
    4. D1125,00 zł
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 1102,50 zł – 1000 · 1,052 = 1000 · 1,1025 = 1102,50.

  11. Kwota 500 zł oprocentowana 10% rocznie, po 2 latach kapitalizacji rocznej, wynosi

    1. A610 zł
    2. B600 zł
    3. C550 zł
    4. D605 zł
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: 605 zł – 500 · 1,12 = 500 · 1,21 = 605.

  12. Wartość maszyny spada co roku o 20%. Po 2 latach stanowi ona

    1. A64% wartości początkowej
    2. B40% wartości początkowej
    3. C80% wartości początkowej
    4. D60% wartości początkowej
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 64% wartości początkowej – 0,82 = 0,64.

Sprawdzian już blisko? Zrób test z całego działu

10 losowych pytań z tematów działu, wynik w procentach i ocena od 1 do 6. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Test z działu · 10 pytańWszystkie tematy: Matematyka