ogarniam.edu.pl
Klasa
Zacznij naukę →Zacznij →

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Ciągiklasa 3 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/3/matematyka/procent-skladany/

Matematyka · Ciągi · kl. 3

Procent składany

Odsetki dopisują się do kapitału i w kolejnym okresie same zarabiają – wzór, przykłady i różnica wobec zwykłego dodawania procentów.

ok. 3 min czytania10 fiszek8 pytań w quizie🔊 Posłuchaj notatki

1Wzór na procent składany

  • Kapitalizacja to dopisanie odsetek do kapitału. W następnym okresie liczysz procent już od większej kwoty.
Zapamiętaj

Kn = K0 · (1 + p przez 100)n

  • K0 to kapitał początkowy [zł], p to oprocentowanie za jeden okres kapitalizacji [%], n to liczba okresów (bez jednostki), Kn to kapitał końcowy [zł].
  • Zakładamy stałą stopę i brak dodatkowych wpłat i opłat. To model do obliczeń, a nie prognoza żadnego produktu.
  • Kolejne kapitały tworzą ciąg geometryczny o ilorazie q = 1 + p przez 100.
latatys. zł0123456789101232594 zł2000 złskładany: 1000 · 1,1ⁿodsetki zawsze od 1000 zł
Procent składany (1000 zł, 10% rocznie) rośnie szybciej niż odsetki liczone zawsze od 1000 zł.

2Przykłady krok po kroku

  • Dane: K0 = 1000 zł, p = 5% za okres, n = 2 okresy.
  • Wzór: K2 = K0 · (1 + p przez 100)2 = 1000 · 1,052.
  • Obliczenia: 1,052 = 1,1025, więc K2 = 1000 · 1,1025 = 1102,5.
  • Odpowiedź: po dwóch okresach na lokacie jest 1102,50 zł (odsetki 102,50 zł).
  • Oprocentowanie 4% rocznie, kapitalizacja co pół roku: za okres p = 2%, po roku n = 2. K2 = 1000 · 1,022 = 1040,40 zł (przy rocznej kapitalizacji byłoby 1040 zł).
  • Odsetki to Kn − K0. Dla 1000 zł, 10% i n = 3: K3 = 1331 zł, odsetki 331 zł.
  • Zaokrąglaj dopiero na końcu, do groszy.
Sprawdź, czy rozumiesz

Kolejne wartości kapitału w procencie składanym tworzą ciąg

3Spadek wartości i podatek

  • Przy spadku o p% w okresie mnożysz przez (1 − p przez 100). Spadek o 10% rocznie przez 2 lata: 0,92 = 0,81, czyli zostaje 81% wartości.
  • Dodatek (poza wymaganiami): jeśli od zysku odliczany jest podatek 19%, odsetki netto to 0,81 · (Kn − K0). Zysk 50 zł daje 40,50 zł.
Uwaga na błąd

Dodawanie procentów. Wzrost o 10% i spadek o 10% nie dają 100%, tylko 1,1 · 0,9 = 0,99, czyli 99%.

✎Ściąga: Procent składany

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

  • Kn = K0 · (1 + p przez 100)n
  • Kapitalizacja to dopisanie odsetek do kapitału. W następnym okresie liczysz procent już od większej kwoty.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

  1. Kwota 1000 zł oprocentowana 5% w okresie, po 2 okresach kapitalizacji, wynosi

    1. A1100,00 zł
    2. B1050,00 zł
    3. C1102,50 zł
    4. D1125,00 zł
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 1102,50 zł – 1000 · 1,052 = 1000 · 1,1025 = 1102,50.

  2. Kwota 500 zł oprocentowana 10% rocznie, po 2 latach kapitalizacji rocznej, wynosi

    1. A610 zł
    2. B600 zł
    3. C550 zł
    4. D605 zł
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: 605 zł – 500 · 1,12 = 500 · 1,21 = 605.

  3. Wartość maszyny spada co roku o 20%. Po 2 latach stanowi ona

    1. A64% wartości początkowej
    2. B40% wartości początkowej
    3. C80% wartości początkowej
    4. D60% wartości początkowej
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 64% wartości początkowej – 0,82 = 0,64.

  4. Lokata ma 4% w skali roku i kapitalizację co pół roku. Po roku z 1000 zł zrobi się

    1. A1080,00 zł
    2. B1040,40 zł
    3. C1040,00 zł
    4. D1020,00 zł
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 1040,40 zł – Za pół roku p = 2%, więc po roku n = 2: 1000 · 1,022 = 1000 · 1,0404 = 1040,40.

  5. Odsetki od 1000 zł po 3 latach przy 10% rocznie i kapitalizacji rocznej wynoszą

    1. A331 zł
    2. B300 zł
    3. C1331 zł
    4. D330 zł
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 331 zł – K3 = 1000 · 1,13 = 1331, więc odsetki to 1331 − 1000 = 331.

  6. Kolejne wartości kapitału w procencie składanym tworzą ciąg

    1. Ageometryczny
    2. Bniemonotoniczny
    3. Carytmetyczny
    4. Dstały
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: geometryczny – Każda wartość jest równa poprzedniej pomnożonej przez stałą liczbę 1 + p przez 100.

  7. Od zysku 50 zł potrącono podatek 19%. Zysk po podatku to

    1. A59,50 zł
    2. B31,00 zł
    3. C9,50 zł
    4. D40,50 zł
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: 40,50 zł – Zostaje 81% zysku: 0,81 · 50 = 40,50.

  8. Cena towaru wzrosła o 10%, a potem spadła o 10%. Cena końcowa to

    1. A99% ceny początkowej
    2. B101% ceny początkowej
    3. C90% ceny początkowej
    4. D100% ceny początkowej
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 99% ceny początkowej – 1,1 · 0,9 = 0,99.

Cały dział „Ciągi”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytańFiszki · 10🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 3

Wyrażenia wymierne: dziedzina, skracanie, mnożenie i dzielenieOdwrotna proporcjonalność i funkcja f(x) = a/xDodawanie wyrażeń wymiernych i nierówności wymierneRównania wymierneCiąg: wzór ogólny, rekurencja i monotonicznośćCiąg arytmetyczny i suma jego wyrazówCiąg geometryczny i suma jego wyrazówGranica ciąguSzereg geometrycznyPodobieństwo figur i twierdzenie Talesa w zadaniachKąty w przestrzeniGraniastosłupy i ostrosłupy: objętość i poleWalec, stożek, kula i bryły podobnePrzekroje brył i twierdzenie o trzech prostopadłychTwierdzenie odwrotne do twierdzenia TalesaTrygonometria kątów 0°–180°, pole trójkąta i twierdzenie cosinusówMiara łukowa i funkcje trygonometryczneTwierdzenie sinusów: dowód i kilka konfiguracjiProsta i okrąg w układzie współrzędnychProsta i okrąg: punkty wspólne i stycznaWektory i dowody analityczneTwierdzenie sinusów i promień okręgu opisanegoŚrednia, mediana i dominantaDowodzenie zależności i kontrola wyniku