Granica ciągu – ściąga i quiz | Matematyka, klasa 3 LO

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Ciągiklasa 3 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/3/matematyka/granica-ciagu/

Granica ciągu

Zakres rozszerzony: granica mówi, do czego zbliżają się wyrazy ciągu, gdy n rośnie – jak ją liczyć z gotowych granic i twierdzeń.

1Co to jest granica

Granica lim a_n = g (g – liczba) znaczy: im większe n, tym bliżej g leżą wyrazy – dowolnie blisko. To nie jest „ostatni wyraz”, bo ciąg nie ma ostatniego wyrazu.
Przykład: a_n = 2 + 1 przez n. Wyrazy 3; 2,5; 21 przez 3; … zbliżają się do 2, więc granica to 2.

Ciąg a_n = 2 + 1 przez n zbliża się do granicy g = 2.

Gotowce: lim 1 przez n = 0, lim 1 przez n² = 0, lim qⁿ = 0 dla |q| < 1 (np. (1 przez 2)ⁿ → 0).

2Działania na granicach

Zapamiętaj

Granica sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych to suma, różnica, iloczyn i iloraz granic (w ilorazie granica mianownika ≠ 0).

Iloraz wielomianów w n: dziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę n.
Krok po kroku. Dane: lim 3n² + 1 przez n² − 5. Najwyższa potęga n w mianowniku to n².
Dzielimy licznik i mianownik przez n²: 3 + 1 przez n² przez 1 − 5 przez n².
Gotowiec lim 1 przez n² = 0, więc licznik dąży do 3, a mianownik do 1 (≠ 0).
Odpowiedź: granica wynosi 3 przez 1 = 3.
Gdy stopień licznika jest mniejszy niż mianownika, granica to 0: 4n − 1 przez 2n² + 3 → 0.

Sprawdź, czy rozumiesz

Granica ciągu a_n = 1 przez n jest równa

3Trzy ciągi

Twierdzenie o trzech ciągach: jeśli a_n ≤ b_n ≤ c_n oraz lim a_n = lim c_n = g, to lim b_n = g.
Przykład: |sin n przez n| ≤ 1 przez n, więc −⁠1 przez n ≤ sin n przez n ≤ 1 przez n i granica to 0.

4Granice niewłaściwe

lim n² = ∞ (wyrazy rosną bez ograniczeń). Taką granicę nazywamy niewłaściwą.
Wyrażenia ∞ − ∞ i ∞ przez ∞ to symbole nieoznaczone – nic z nich nie wynika, trzeba najpierw przekształcić wzór (np. podzielić przez n²).

Uwaga na błąd

Traktowanie ∞ jak zwykłej liczby, np. „∞ − ∞ = 0”. To nie jest działanie, tylko sygnał, że trzeba przekształcać.

Sprawdź, czy rozumiesz

Ciągi spełniają a_n ≤ b_n ≤ c_n oraz lim a_n = lim c_n = 4. Z twierdzenia o trzech ciągach lim b_n jest równa

✎Ściąga: Granica ciągu

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

Granica sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych to suma, różnica, iloczyn i iloraz granic (w ilorazie granica mianownika ≠ 0).
Granica lim a_n = g (g – liczba) znaczy: im większe n, tym bliżej g leżą wyrazy – dowolnie blisko. To nie jest „ostatni wyraz”, bo ciąg nie ma ostatniego wyrazu.
Krok po kroku. Dane: lim 3n² + 1 przez n² − 5. Najwyższa potęga n w mianowniku to n².
Twierdzenie o trzech ciągach: jeśli a_n ≤ b_n ≤ c_n oraz lim a_n = lim c_n = g, to lim b_n = g.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

Granica ciągu a_n = 1 przez n jest równa
1. Aciąg nie ma granicy
2. B1
3. C∞
4. D0
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 0 – Wyrazy 1 przez n zbliżają się do 0 przy n dążącym do nieskończoności.
Granica ciągu 2n + 1 przez n jest równa
1. A2
2. B0
3. C1
4. D∞
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 2 – 2n + 1 przez n = 2 + 1 przez n → 2.
Granica ciągu 3n² + 1 przez n² − 5 jest równa
1. A−⁠5
2. B3
3. C0
4. D∞
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 3 – Dzielimy przez n²: 3 + 1 przez n² przez 1 − 5 przez n² → 3 przez 1 = 3.
Ciągi spełniają a_n ≤ b_n ≤ c_n oraz lim a_n = lim c_n = 4. Z twierdzenia o trzech ciągach lim b_n jest równa
1. Anie można jej określić
2. B0
3. C4
4. D8
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 4 – Ciąg „ściśnięty” między dwoma ciągami o tej samej granicy ma tę samą granicę.
Granica ciągu n² przez n + 1 jest równa
1. A1
2. B0
3. C∞
4. D−⁠∞
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: ∞ – n² przez n + 1 = n przez 1 + 1 przez n, a licznik rośnie bez ograniczeń, więc granica to ∞.
Granica ciągu a_n = (1 przez 2)ⁿ jest równa
1. A∞
2. B1
3. C1 przez 2
4. D0
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 0 – Dla |q| < 1 mamy lim qⁿ = 0.
Granica ciągu 4n − 1 przez 2n² + 3 jest równa
1. A2
2. B∞
3. C4 przez 3
4. D0
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 0 – Po podzieleniu przez n²: 4 przez n − 1 przez n² przez 2 + 3 przez n² → 0 przez 2 = 0.
Granica ciągu sin n przez n jest równa
1. A0
2. Bciąg nie ma granicy
3. Csin 1
4. D1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 0 – Z |sin n| ≤ 1 mamy −⁠1 przez n ≤ sin n przez n ≤ 1 przez n, a obie skrajne granice to 0 (twierdzenie o trzech ciągach).

Cały dział „Ciągi”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytań Fiszki · 8 🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 3

Wyrażenia wymierne: dziedzina, skracanie, mnożenie i dzielenie Odwrotna proporcjonalność i funkcja f(x) = a/x Dodawanie wyrażeń wymiernych i nierówności wymierne Równania wymierne Ciąg: wzór ogólny, rekurencja i monotoniczność Ciąg arytmetyczny i suma jego wyrazów Ciąg geometryczny i suma jego wyrazów Procent składany Szereg geometryczny Podobieństwo figur i twierdzenie Talesa w zadaniach Kąty w przestrzeni Graniastosłupy i ostrosłupy: objętość i pole Walec, stożek, kula i bryły podobne Przekroje brył i twierdzenie o trzech prostopadłych Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa Trygonometria kątów 0°–180°, pole trójkąta i twierdzenie cosinusów Miara łukowa i funkcje trygonometryczne Twierdzenie sinusów: dowód i kilka konfiguracji Prosta i okrąg w układzie współrzędnych Prosta i okrąg: punkty wspólne i styczna Wektory i dowody analityczne Twierdzenie sinusów i promień okręgu opisanego Średnia, mediana i dominanta Dowodzenie zależności i kontrola wyniku