1Suma nieskończona
- Szereg geometryczny to nieskończona suma a1 + a1q + a1q2 + …, a1 to pierwszy wyraz, q to iloraz.
- Zbiega, gdy |q| < 1. Wtedy kolejne wyrazy maleją do zera i suma ma sensowną wartość.
S = a1 przez 1 − q, ale tylko dla |q| < 1.
2Przykłady krok po kroku
- Dane: 1 + 1 przez 2 + 1 przez 4 + …
- Parametry: a1 = 1, q = 1 przez 2. Warunek: |q| = 1 przez 2 < 1, więc szereg jest zbieżny.
- Obliczenia: S = 1 przez 1 − 1 przez 2 = 1 przez 1 przez 2 = 2.
- Odpowiedź: suma szeregu wynosi 2.
- Dane: 3 − 1 + 1 przez 3 − …, a1 = 3, q = −1 przez 3. Obliczenia: S = 3 przez 1 + 1 przez 3 = 3 przez 4 przez 3 = 9 przez 4.
- Szereg 1 + x + x2 + … jest zbieżny dla |x| < 1, czyli −1 < x < 1, i ma sumę 1 przez 1 − x.
Szereg geometryczny ma a1 = 6 i sumę 9. Iloraz q jest równy
9 = 6 przez 1 − q, więc 1 − q = 6 przez 9 = 2 przez 3, czyli q = 1 przez 3.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Ułamek okresowy jako szereg
- 0,(3) = 0,3 + 0,03 + 0,003 + … To szereg o a1 = 0,3 i q = 0,1.
- S = 0,3 przez 1 − 0,1 = 0,3 przez 0,9 = 1 przez 3.
- Podobnie 0,(6) = 0,6 przez 0,9 = 2 przez 3.
Użycie wzoru dla |q| ≥ 1. Dla q = 1 lub q = 2 wyrazy nie maleją do zera i szereg nie ma sumy skończonej.
✎Ściąga: Szereg geometryczny
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- S = a1 przez 1 − q, ale tylko dla |q| < 1.
- Szereg geometryczny to nieskończona suma a1 + a1q + a1q2 + …, a1 to pierwszy wyraz, q to iloraz.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Suma szeregu 1 + 1 przez 2 + 1 przez 4 + … jest równa
- A4
- B1
- C2
- D∞
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 2 – a1 = 1, q = 1 przez 2, więc S = 1 przez 1 − 1 przez 2 = 2.
Suma szeregu geometrycznego o a1 = 3 i q = −1 przez 3 jest równa
- A9 przez 4
- Bszereg jest rozbieżny
- C9 przez 2
- D3 przez 2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 9 przez 4 – S = 3 przez 1 − (−1 przez 3) = 3 przez 4 przez 3 = 9 przez 4.
Szereg geometryczny o a1 = 1 jest zbieżny dla
- Aq = 2
- Bq = −1 przez 2
- Cq = −1
- Dq = 1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: q = −1 przez 2 – Szereg zbiega, gdy |q| < 1; z podanych liczb spełnia to tylko −1 przez 2.
Liczba 0,(6) jest równa
- A2 przez 3
- B3 przez 5
- C33 przez 50
- D6 przez 11
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 2 przez 3 – 0,(6) = 0,6 + 0,06 + … = 0,6 przez 1 − 0,1 = 0,6 przez 0,9 = 2 przez 3.
Suma 1 + x + x2 + … dla x = 1 przez 3 wynosi
- A3 przez 2
- B2 przez 3
- C3
- D1 przez 2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 3 przez 2 – S = 1 przez 1 − x = 1 przez 1 − 1 przez 3 = 3 przez 2.
Szereg 1 + x + x2 + … jest zbieżny dokładnie wtedy, gdy
- Ax > 0
- Bx ≤ 1
- C−1 ≤ x ≤ 1
- D−1 < x < 1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: −1 < x < 1 – Warunek zbieżności to |q| < 1, a tu q = x. Dla x = ±1 szereg nie zbiega.
Suma szeregu o a1 = 4 i q = 1 przez 2 jest równa
- A∞
- B8
- C4
- D6
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 8 – S = 4 przez 1 − 1 przez 2 = 4 przez 1 przez 2 = 8.
Szereg geometryczny ma a1 = 6 i sumę 9. Iloraz q jest równy
- A3 przez 2
- B2 przez 3
- C−1 przez 3
- D1 przez 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 1 przez 3 – 9 = 6 przez 1 − q, więc 1 − q = 6 przez 9 = 2 przez 3, czyli q = 1 przez 3.
Cały dział „Ciągi”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.