ogarniam.edu.pl
Klasa
Zacznij naukę →Zacznij →

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Ciągiklasa 3 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/3/matematyka/ciag-arytmetyczny-i-suma-jego-wyrazow/

Matematyka · Ciągi · kl. 3

Ciąg arytmetyczny i suma jego wyrazów

Ciąg, w którym każdy wyraz jest o tę samą liczbę większy od poprzedniego – wzór na n-ty wyraz, wzór na sumę i skąd on się bierze.

ok. 3 min czytania10 fiszek8 pytań w quizie🔊 Posłuchaj notatki

1Definicja i wzór ogólny

  • Ciąg jest arytmetyczny, gdy różnica an+1 − an = r jest taka sama dla każdego n. Liczba r to różnica ciągu.
Zapamiętaj

an = a1 + (n − 1) · r

  • Tu a1 to pierwszy wyraz, n to numer wyrazu, r to różnica, an to wyraz o numerze n.
  • Dane: a1 = 4, r = 3. Wzór: a10 = 4 + 9 · 3 = 31.
  • r > 0 – ciąg rośnie, r < 0 – maleje, r = 0 – jest stały.
naₙ012345612345678910111213141516+3+3+3+3a₁ = 2a₅ = 14
Ciąg arytmetyczny a1 = 2, r = 3: punkty leżą na jednej prostej, a każdy następny jest wyżej o 3.

2Rozpoznawanie i parametry

  • Środkowy wyraz to średnia sąsiednich: an = an−⁠1 + an+1 przez 2. Dlatego x, 5, 9 tworzą ciąg arytmetyczny, gdy 2 · 5 = x + 9, czyli x = 1.
  • Krok po kroku. Dane: a3 = 7, a8 = 22. Szukamy r i a1.
  • Z wzoru ogólnego: a8 = a3 + 5r (od wyrazu 3. do 8. jest 5 „kroków”).
  • Obliczenia: 22 = 7 + 5r, więc r = 3, a a1 = a3 − 2r = 7 − 6 = 1.
  • Odpowiedź: r = 3, a1 = 1, czyli an = 1 + (n − 1) · 3 = 3n − 2.
  • an = 3n + 1 jest arytmetyczny, bo an+1 − an = 3 dla każdego n.
Sprawdź, czy rozumiesz

Liczby x, 5, 11 tworzą (w tej kolejności) ciąg arytmetyczny. Liczba x jest równa

3Suma początkowych wyrazów

Zapamiętaj

Sn = a1 + an przez 2 · n, równoważnie Sn = 2a1 + (n − 1)r przez 2 · n

  • Sn to suma n pierwszych wyrazów, n to liczba składników.
  • Skąd to się bierze: a1 + an = a2 + an−⁠1 = …, więc 2Sn = n(a1 + an).
  • 1 + 2 + … + 100 = 100 · 101 przez 2 = 5050. Liczby parzyste dwucyfrowe 10 + 12 + … + 98: n = 45, więc S = 45 · (10 + 98) przez 2 = 2430.
Uwaga na błąd

Pomylenie liczby składników n z wartością ostatniego wyrazu. W sumie 5 + 8 + … + 50 najpierw liczysz n: 5 + (n − 1) · 3 = 50, czyli n = 16.

✎Ściąga: Ciąg arytmetyczny i suma jego wyrazów

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

  • an = a1 + (n − 1) · r
  • Sn = a1 + an przez 2 · n, równoważnie Sn = 2a1 + (n − 1)r przez 2 · n
  • Krok po kroku. Dane: a3 = 7, a8 = 22. Szukamy r i a1.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

  1. W ciągu arytmetycznym a1 = 4 i r = 3. Wyraz a10 jest równy

    1. A31
    2. B27
    3. C34
    4. D40
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 31 – a10 = 4 + 9 · 3 = 31.

  2. Suma 1 + 2 + 3 + … + 100 jest równa

    1. A5050
    2. B10100
    3. C5000
    4. D5051
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 5050 – S100 = 100 · (1 + 100) przez 2 = 5050.

  3. W ciągu arytmetycznym a3 = 7 i a8 = 22. Różnica r jest równa

    1. A3
    2. B2
    3. C5
    4. D15
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 3 – a8 − a3 = 5r = 15, więc r = 3.

  4. Liczby x, 5, 11 tworzą (w tej kolejności) ciąg arytmetyczny. Liczba x jest równa

    1. A8
    2. B−⁠5
    3. C1
    4. D−⁠1
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: −⁠1 – 2 · 5 = x + 11, więc x = −⁠1.

  5. Suma wszystkich liczb parzystych dwucyfrowych 10 + 12 + … + 98 jest równa

    1. A4860
    2. B2475
    3. C2376
    4. D2430
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: 2430 – 10 + (n − 1) · 2 = 98 daje n = 45, więc S = 45 · (10 + 98) przez 2 = 2430.

  6. W ciągu arytmetycznym a1 = 2 i r = 3. Suma dziesięciu początkowych wyrazów jest równa

    1. A290
    2. B145
    3. C310
    4. D155
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: 155 – a10 = 2 + 27 = 29, więc S10 = 10 · (2 + 29) przez 2 = 155.

  7. Ile wyrazów ma suma 5 + 8 + 11 + … + 50?

    1. A15
    2. B16
    3. C14
    4. D17
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 16 – 5 + (n − 1) · 3 = 50 daje n − 1 = 15, czyli n = 16.

  8. Który ciąg jest arytmetyczny?

    1. A2, 3, 5, 8
    2. B9, 6, 3, 0
    3. C1, 4, 9, 16
    4. D1, 2, 4, 8
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 9, 6, 3, 0 – W ciągu 9, 6, 3, 0 każda różnica kolejnych wyrazów wynosi −⁠3.

Cały dział „Ciągi”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytańFiszki · 10🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 3

Wyrażenia wymierne: dziedzina, skracanie, mnożenie i dzielenieOdwrotna proporcjonalność i funkcja f(x) = a/xDodawanie wyrażeń wymiernych i nierówności wymierneRównania wymierneCiąg: wzór ogólny, rekurencja i monotonicznośćCiąg geometryczny i suma jego wyrazówProcent składanyGranica ciąguSzereg geometrycznyPodobieństwo figur i twierdzenie Talesa w zadaniachKąty w przestrzeniGraniastosłupy i ostrosłupy: objętość i poleWalec, stożek, kula i bryły podobnePrzekroje brył i twierdzenie o trzech prostopadłychTwierdzenie odwrotne do twierdzenia TalesaTrygonometria kątów 0°–180°, pole trójkąta i twierdzenie cosinusówMiara łukowa i funkcje trygonometryczneTwierdzenie sinusów: dowód i kilka konfiguracjiProsta i okrąg w układzie współrzędnychProsta i okrąg: punkty wspólne i stycznaWektory i dowody analityczneTwierdzenie sinusów i promień okręgu opisanegoŚrednia, mediana i dominantaDowodzenie zależności i kontrola wyniku