ogarniam.edu.pl
Klasa
Zacznij naukę →Zacznij →

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Ciągiklasa 3 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/3/matematyka/ciag-geometryczny-i-suma-jego-wyrazow/

Matematyka · Ciągi · kl. 3

Ciąg geometryczny i suma jego wyrazów

Ciąg, w którym każdy wyraz jest tyle samo razy większy od poprzedniego – wzór na n-ty wyraz, trzy kolejne wyrazy i suma.

ok. 3 min czytania9 fiszek8 pytań w quizie🔊 Posłuchaj notatki

1Definicja i wzór ogólny

  • Ciąg jest geometryczny, gdy an+1 przez an = q jest takie samo dla każdego n. Liczba q to iloraz ciągu. Zakładamy, że a1 ≠ 0 i q ≠ 0, żeby wolno było dzielić.
Zapamiętaj

an = a1 · qn−⁠1

  • Tu a1 to pierwszy wyraz, q to iloraz, n to numer wyrazu.
  • Dane: a1 = 3, q = 2. Wzór: a5 = 3 · 24 = 48.
  • Monotoniczność: a1 > 0 i q > 1 – rośnie; a1 > 0 i 0 < q < 1 – maleje (dla a1 < 0 odwrotnie); q = 1 – stały; q < 0 – wyrazy zmieniają znak na przemian, więc ciąg nie jest monotoniczny.
naₙ012345612345678910111213141516174816q = 2 – rośnieq = ½ – maleje do zera
Ciągi geometryczne: q = 2 rośnie, q = ½ maleje do zera.

2Trzy kolejne wyrazy

  • Liczby a, b, c (niezerowe) tworzą ciąg geometryczny, gdy b2 = a · c. To odpowiednik „średniej” z ciągu arytmetycznego, tylko z mnożeniem.
  • Przykład: x, 6, 9 → 36 = 9x, więc x = 4.
Sprawdź, czy rozumiesz

Liczby x, 6, 9 tworzą (w tej kolejności) ciąg geometryczny. Liczba x jest równa

3Suma początkowych wyrazów

Zapamiętaj

Dla q ≠ 1: Sn = a1 · 1 − qn przez 1 − q. Dla q = 1: Sn = n · a1.

  • Sn to suma n początkowych wyrazów.
  • Krok po kroku. Dane: suma 2 + 6 + 18 + 54.
  • Parametry: a1 = 2, q = 6 przez 2 = 3, liczba składników n = 4.
  • Wzór i obliczenia: S4 = 2 · 1 − 34 przez 1 − 3 = 2 · −⁠80 przez −⁠2 = 80.
  • Odpowiedź: suma wynosi 80 (sprawdzenie: 2 + 6 + 18 + 54 = 80).
  • Zawsze sprawdź, ile wyrazów obejmuje suma, i podstaw właściwe n.
Uwaga na błąd

Wzór z (1 − q) w mianowniku dla q = 1. Wtedy mianownik jest zerem, a suma to po prostu n · a1.

✎Ściąga: Ciąg geometryczny i suma jego wyrazów

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

  • an = a1 · qn−⁠1
  • Dla q ≠ 1: Sn = a1 · 1 − qn przez 1 − q. Dla q = 1: Sn = n · a1.
  • Krok po kroku. Dane: suma 2 + 6 + 18 + 54.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

  1. W ciągu geometrycznym a1 = 2 i q = 3. Wyraz a4 jest równy

    1. A54
    2. B18
    3. C162
    4. D24
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 54 – a4 = 2 · 33 = 54.

  2. Iloraz ciągu geometrycznego 81, 27, 9, … jest równy

    1. A−⁠54
    2. B1 przez 3
    3. C1 przez 9
    4. D3
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 1 przez 3 – q = 27 przez 81 = 1 przez 3.

  3. Liczby x, 6, 9 tworzą (w tej kolejności) ciąg geometryczny. Liczba x jest równa

    1. A7,5
    2. B3
    3. C4
    4. D13,5
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 4 – Z warunku 62 = x · 9 mamy x = 4. Wartość 3 dałby warunek ciągu arytmetycznego.

  4. Suma 2 + 6 + 18 + 54 jest równa

    1. A78
    2. B162
    3. C80
    4. D54
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 80 – S4 = 2 · 1 − 34 przez 1 − 3 = 80.

  5. Który ciąg jest geometryczny?

    1. A5, 10, 20
    2. B1, 2, 4, 7
    3. C1, 4, 9
    4. D5, 10, 15
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 5, 10, 20 – W ciągu 5, 10, 20 iloraz sąsiednich wyrazów wynosi 2; w pozostałych ilorazy są różne.

  6. Piąty wyraz ciągu an = 3 · 2n−⁠1 jest równy

    1. A96
    2. B30
    3. C25
    4. D48
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: 48 – a5 = 3 · 24 = 48.

  7. Suma pięciu wyrazów ciągu o a1 = 7 i q = 1 jest równa

    1. A0
    2. B7
    3. C35
    4. D5
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 35 – Dla q = 1 wszystkie wyrazy są równe 7, więc S5 = 5 · 7 = 35.

  8. Ciąg o pierwszym wyrazie 1 i ilorazie q = −⁠2 jest

    1. Arosnący
    2. Bstały
    3. Cmalejący
    4. Dniemonotoniczny
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: niemonotoniczny – Wyrazy 1, −⁠2, 4, −⁠8, … na przemian maleją i rosną.

Cały dział „Ciągi”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytańFiszki · 9🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 3

Wyrażenia wymierne: dziedzina, skracanie, mnożenie i dzielenieOdwrotna proporcjonalność i funkcja f(x) = a/xDodawanie wyrażeń wymiernych i nierówności wymierneRównania wymierneCiąg: wzór ogólny, rekurencja i monotonicznośćCiąg arytmetyczny i suma jego wyrazówProcent składanyGranica ciąguSzereg geometrycznyPodobieństwo figur i twierdzenie Talesa w zadaniachKąty w przestrzeniGraniastosłupy i ostrosłupy: objętość i poleWalec, stożek, kula i bryły podobnePrzekroje brył i twierdzenie o trzech prostopadłychTwierdzenie odwrotne do twierdzenia TalesaTrygonometria kątów 0°–180°, pole trójkąta i twierdzenie cosinusówMiara łukowa i funkcje trygonometryczneTwierdzenie sinusów: dowód i kilka konfiguracjiProsta i okrąg w układzie współrzędnychProsta i okrąg: punkty wspólne i stycznaWektory i dowody analityczneTwierdzenie sinusów i promień okręgu opisanegoŚrednia, mediana i dominantaDowodzenie zależności i kontrola wyniku