ogarniam.edu.pl
Klasa
Zacznij naukę →Zacznij →

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Ciągiklasa 3 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/3/matematyka/ciag-wzor-ogolny-rekurencja-i-monotonicznosc/

Matematyka · Ciągi · kl. 3

Ciąg: wzór ogólny, rekurencja i monotoniczność

Ciąg to lista liczb ustawionych po kolei – zobacz, jak zapisać go wzorem lub rekurencją i jak sprawdzić, czy rośnie.

ok. 3 min czytania9 fiszek8 pytań w quizie🔊 Posłuchaj notatki

1Czym jest ciąg

  • Ciąg to funkcja, której argumentami są kolejne numery n = 1, 2, 3, … (liczby całkowite dodatnie). Numerowi n odpowiada wyraz an.
  • Wzór ogólny pozwala policzyć dowolny wyraz od razu. Dla an = n2 − 3n: a1 = −⁠2, a2 = −⁠2, a3 = 0, a4 = 4.
  • Wykres ciągu to osobne punkty (n, an). Nie łączymy ich linią, bo między n = 2 i n = 3 żadnego wyrazu nie ma.
naₙ0123456123456789101112357911aₙ = 2n + 1tylko punkty, bez łączenia
Wykres ciągu an = 2n + 1: izolowane punkty.

2Wzór rekurencyjny

Zapamiętaj

Wzór rekurencyjny podaje wyraz przez wyrazy wcześniejsze i zawsze potrzebuje warunku początkowego.

  • a1 = 2, an+1 = an + 3 daje 2, 5, 8, 11, …
  • a1 = a2 = 1, an+2 = an+1 + an daje 1, 1, 2, 3, 5, 8, … (ciąg Fibonacciego).
Uwaga na błąd

Pominięcie warunku początkowego. Sam wzór an+1 = an + 3 pasuje do niezliczonych ciągów – nie wiadomo, od czego zacząć.

Sprawdź, czy rozumiesz

Wykresem ciągu an = 2n + 1 jest

3Monotoniczność

  • Liczysz różnicę an+1 − an i patrzysz na jej znak. Dodatnia dla każdego n – ciąg rosnący; ujemna – malejący; zero – stały.
  • Krok po kroku. Dane: an = 2n − 1 przez n + 1. Pytanie: czy ciąg jest monotoniczny?
  • Wyraz następny: an+1 = 2(n + 1) − 1 przez (n + 1) + 1 = 2n + 1 przez n + 2.
  • Różnica: 2n + 1 przez n + 2 − 2n − 1 przez n + 1 = (2n + 1)(n + 1) − (2n − 1)(n + 2) przez (n + 1)(n + 2) = 3 przez (n + 1)(n + 2).
  • Licznik 3 i mianownik są dodatnie dla każdego n ≥ 1. Odpowiedź: ciąg jest rosnący.
  • Ciąg an = (−⁠1)n (−⁠1, 1, −⁠1, 1, …) nie jest monotoniczny.
Uwaga na błąd

Sprawdzenie kilku pierwszych wyrazów i ogłoszenie wniosku. Kilka wyrazów to za mało – trzeba zbadać znak różnicy dla każdego n.

✎Ściąga: Ciąg: wzór ogólny, rekurencja i monotoniczność

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

  • Wzór rekurencyjny podaje wyraz przez wyrazy wcześniejsze i zawsze potrzebuje warunku początkowego.
  • Ciąg to funkcja, której argumentami są kolejne numery n = 1, 2, 3, … (liczby całkowite dodatnie). Numerowi n odpowiada wyraz an.
  • Wzór ogólny pozwala policzyć dowolny wyraz od razu. Dla an = n2 − 3n: a1 = −⁠2, a2 = −⁠2, a3 = 0, a4 = 4.
  • Krok po kroku. Dane: an = 2n − 1 przez n + 1. Pytanie: czy ciąg jest monotoniczny?

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

  1. Piąty wyraz ciągu an = 3n − 2 jest równy

    1. A15
    2. B17
    3. C13
    4. D10
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 13 – a5 = 3 · 5 − 2 = 13.

  2. Ciąg jest określony: a1 = 2, an+1 = an + 3. Wyraz a4 jest równy

    1. A8
    2. B14
    3. C9
    4. D11
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: 11 – Kolejno: 2, 5, 8, 11.

  3. Ciąg jest określony: a1 = 1, an+1 = 2an. Wyraz a5 jest równy

    1. A16
    2. B8
    3. C32
    4. D10
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 16 – Kolejno: 1, 2, 4, 8, 16.

  4. Ciąg an = 5 − 2n jest

    1. Aniemonotoniczny
    2. Brosnący
    3. Cstały
    4. Dmalejący
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: malejący – an+1 − an = (5 − 2n − 2) − (5 − 2n) = −⁠2 < 0.

  5. Dla an = n2 różnica an+1 − an jest równa

    1. A2n + 1
    2. B2n − 1
    3. C2n
    4. Dn + 1
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 2n + 1 – (n + 1)2 − n2 = n2 + 2n + 1 − n2 = 2n + 1.

  6. Ciąg an = (−⁠1)n jest

    1. Arosnący
    2. Bstały
    3. Cmalejący
    4. Dniemonotoniczny
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: niemonotoniczny – Wyrazy to −⁠1, 1, −⁠1, 1, … – na przemian maleją i rosną.

  7. Wykresem ciągu an = 2n + 1 jest

    1. Acała prosta y = 2x + 1
    2. Bpółprosta y = 2x + 1 dla x ≥ 1
    3. Codcinek łączący punkty (1, 3) i (10, 21)
    4. Dzbiór izolowanych punktów (n, 2n + 1) dla n = 1, 2, 3, …
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: zbiór izolowanych punktów (n, 2n + 1) dla n = 1, 2, 3, … – Argumentami ciągu są tylko liczby naturalne dodatnie, więc wykres to osobne punkty.

  8. Ciąg: a1 = 1, a2 = 1, an+2 = an+1 + an. Wyraz a6 jest równy

    1. A13
    2. B11
    3. C8
    4. D7
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 8 – Kolejno: 1, 1, 2, 3, 5, 8.

Cały dział „Ciągi”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytańFiszki · 9🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 3

Wyrażenia wymierne: dziedzina, skracanie, mnożenie i dzielenieOdwrotna proporcjonalność i funkcja f(x) = a/xDodawanie wyrażeń wymiernych i nierówności wymierneRównania wymierneCiąg arytmetyczny i suma jego wyrazówCiąg geometryczny i suma jego wyrazówProcent składanyGranica ciąguSzereg geometrycznyPodobieństwo figur i twierdzenie Talesa w zadaniachKąty w przestrzeniGraniastosłupy i ostrosłupy: objętość i poleWalec, stożek, kula i bryły podobnePrzekroje brył i twierdzenie o trzech prostopadłychTwierdzenie odwrotne do twierdzenia TalesaTrygonometria kątów 0°–180°, pole trójkąta i twierdzenie cosinusówMiara łukowa i funkcje trygonometryczneTwierdzenie sinusów: dowód i kilka konfiguracjiProsta i okrąg w układzie współrzędnychProsta i okrąg: punkty wspólne i stycznaWektory i dowody analityczneTwierdzenie sinusów i promień okręgu opisanegoŚrednia, mediana i dominantaDowodzenie zależności i kontrola wyniku