Liczby rzeczywiste – powtórka do sprawdzianu

ogarniam.edu.pl · Matematyka · klasa 1 LOściąga z działu · próbny test: ogarniam.edu.pl/lo/1/matematyka/powtorka/liczby-rzeczywiste/

Sprawdzian albo kartkówka z działu „Liczby rzeczywiste”? Przeczytaj ściągę, rozwiąż próbny test (18 pytań z odpowiedziami), a potem sprawdź się w teście z wynikiem i oceną.

✎Ściąga z działu

Zbiory liczbowe i rozwinięcia dziesiętne

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Znak ⊂ czytaj „jest zawarty w”: każda liczba naturalna jest też całkowita, wymierna i rzeczywista.
ℕ, liczby naturalne: 0, 1, 2, 3, … W polskich podręcznikach zero należy do ℕ.
ℤ, liczby całkowite: do naturalnych dokładamy ujemne, czyli …, −⁠2, −⁠1, 0, 1, 2, …

Pierwiastki i działania na pierwiastkach

pierwiastek z a · pierwiastek z b = pierwiastek z a · b oraz pierwiastek z a przez pierwiastek z b = pierwiastek z a przez b. Litery a i b to liczby pod pierwiastkami: a ≥ 0 i b ≥ 0, a w ilorazie b > 0. Tak samo działa to dla pierwiastków wyższych stopni, np. ³pierwiastek stopnia 3 z 2 · ³pierwiastek stopnia 3 z 4 = ³pierwiastek stopnia 3 z 8 = 2.
pierwiastek z a to liczba nieujemna, której kwadrat wynosi a. Pod pierwiastkiem musi być a ≥ 0. Zatem pierwiastek z 9 = 3, a nie −⁠3.
³pierwiastek stopnia 3 z a to liczba, której sześcian wynosi a. Tu a może być ujemne: ³pierwiastek stopnia 3 z −⁠8 = −⁠2, bo (−⁠2)³ = −⁠8.

Potęgi, wykładnik wymierny i notacja wykładnicza

aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ; (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ; (ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ; (a przez b)ⁿ = aⁿ przez bⁿ. Podstawy a, b są dodatnie, a m, n to dowolne wykładniki wymierne.
a⁰ = 1 dla a ≠ 0. Ujemny wykładnik to odwrotność: a⁻ⁿ = 1 przez aⁿ.

Podzielność, liczby pierwsze i dowody na liczbach całkowitych

a = b · q + r, gdzie b ≥ 1, q to iloraz, a r to reszta, 0 ≤ r < b. Dla b = 3 każda liczba całkowita ma postać 3k, 3k + 1 lub 3k + 2.
Liczba pierwsza to liczba naturalna, która ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie (2, 3, 5, 7, 11, …). Liczba 1 nie jest ani pierwsza, ani złożona.
NWD to największy wspólny dzielnik: wspólne czynniki w najmniejszych potęgach. NWW to najmniejsza wspólna wielokrotność: wszystkie czynniki w największych potęgach.

Logarytmy

logₐ b = c ⇔ aᶜ = b. Warunki: a > 0, a ≠ 1 oraz b > 0. Znak ⇔ znaczy, że oba zapisy mówią to samo.
logₐ x + logₐ y = logₐ (x · y); logₐ x − logₐ y = logₐ x przez y; logₐ xᵏ = k · logₐ x, gdzie k to dowolna liczba rzeczywista.

Procenty i punkty procentowe

Kₙ = K · (1 + p przez 100)ⁿ. K to kapitał początkowy (zł), p oprocentowanie za jeden okres (%), n liczba okresów, Kₙ kapitał po n okresach (zł).
1% = 1 przez 100 = 0,01. Dlatego p% liczby a to p przez 100 · a. Przykład: 20% ze 150 to 0,2 · 150 = 30.
Punkt procentowy (p.p.) to różnica dwóch wartości procentowych. Poparcie rośnie z 20% do 25%: to wzrost o 5 p.p.

Logarytmy: zmiana podstawy i równania (rozszerzenie)

logₐ b = log_c b przez log_c a. Po prawej oba logarytmy mają tę samą nową podstawę c.

?Próbny sprawdzian

Pytania z każdego tematu działu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź z wyjaśnieniem.

Która liczba jest niewymierna?
1. A0,(15)
2. Bpierwiastek z 16
3. Cpierwiastek z 20
4. D22 przez 7
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: pierwiastek z 20 – pierwiastek z 16 = 4, 22 przez 7 to ułamek, a 0,(15) ma okres, więc te liczby są wymierne. Liczba 20 nie jest kwadratem liczby całkowitej, więc pierwiastek z 20 = 2pierwiastek z 5 jest niewymierna.
Ułamek okresowy 0,(5) jest równy
1. A5 przez 9
2. B1 przez 2
3. C5 przez 10
4. D5 przez 99
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 5 przez 9 – Dla x = 0,(5) mamy 10x − x = 5, więc 9x = 5.
Ułamek okresowy 0,(18) jest równy
1. A9 przez 50
2. B2 przez 11
3. C2 przez 9
4. D1 przez 5
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 2 przez 11 – Okres ma dwie cyfry, więc 100x − x = 18, czyli x = 18 przez 99 = 2 przez 11.
Wartość pierwiastek z (−⁠7)² wynosi
1. A−⁠7
2. B±7
3. C7
4. D49
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 7 – pierwiastek z a² = |a|, więc pierwiastek z (−⁠7)² = |−⁠7| = 7.
Liczba pierwiastek z 72 jest równa
1. A12pierwiastek z 6
2. B6pierwiastek z 3
3. C36pierwiastek z 2
4. D6pierwiastek z 2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 6pierwiastek z 2 – 72 = 36 · 2, a pierwiastek z 36 = 6, więc pierwiastek z 72 = 6pierwiastek z 2.
Liczba 3pierwiastek z 2 + pierwiastek z 8 jest równa
1. A3pierwiastek z 10
2. B5pierwiastek z 2
3. C4pierwiastek z 2
4. Dpierwiastek z 10
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 5pierwiastek z 2 – pierwiastek z 8 = 2pierwiastek z 2, więc 3pierwiastek z 2 + 2pierwiastek z 2 = 5pierwiastek z 2.
Wartość 2⁻³ wynosi
1. A1 przez 8
2. B−⁠6
3. C−⁠8
4. D8
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 1 przez 8 – Wykładnik ujemny oznacza odwrotność: 1 przez 2³ = 1 przez 8.
Wartość 8^{2 przez 3} wynosi
1. A4
2. B64
3. C2
4. D16 przez 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 4 – 8^{2 przez 3} = (³pierwiastek stopnia 3 z 8)² = 2² = 4.
Wartość 16^{−⁠1 przez 4} wynosi
1. A−⁠1 przez 2
2. B1 przez 2
3. C−⁠2
4. D2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 1 przez 2 – ⁴pierwiastek stopnia 4 z 16 = 2, a ujemny wykładnik daje odwrotność: 1 przez 2.
Rozkład liczby 60 na czynniki pierwsze to
1. A4 · 15
2. B2 · 5 · 6
3. C2² · 3 · 5
4. D2 · 3 · 10
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 2² · 3 · 5 – W rozkładzie mogą być tylko liczby pierwsze: 4 · 3 · 5 = 2² · 3 · 5.
Która liczba jest pierwsza?
1. A91
2. B29
3. C51
4. D1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 29 – 51 = 3 · 17 i 91 = 7 · 13, a 1 nie jest pierwsza.
NWW(12, 18) wynosi
1. A6
2. B36
3. C216
4. D72
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 36 – 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3², więc bierzemy 2² · 3² = 36.
Wartość log₂ 32 wynosi
1. A30
2. B16
3. C5
4. D2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 5 – 2⁵ = 32, więc wykładnik to 5.
Wartość log₃ 1 przez 9 wynosi
1. A1 przez 9
2. B−⁠2
3. C2
4. D−⁠1 przez 2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: −⁠2 – 3⁻² = 1 przez 9, więc wykładnik to −⁠2.
Wartość log₆ 4 + log₆ 9 jest równa
1. A2
2. Blog₆ 13
3. C36
4. D13
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 2 – Suma logarytmów to logarytm iloczynu: log₆ 36 = 2.
Cena 80 zł wzrosła o 25%. Nowa cena to
1. A105 zł
2. B125 zł
3. C100 zł
4. D60 zł
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 100 zł – Mnożnik wynosi 1,25, więc 80 · 1,25 = 100.
15% pewnej liczby to 45. Ta liczba wynosi
1. A300
2. B6,75
3. C675
4. D30
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 300 – Całość to 45 : 0,15 = 300.
Cena rośnie o 10%, a potem maleje o 10%. Końcowa cena jest
1. Ao 10% niższa
2. Brówna początkowej
3. Co 1% niższa od początkowej
4. Do 1% wyższa
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: o 1% niższa od początkowej – Mnożniki: 1,1 · 0,9 = 0,99, czyli 99% ceny początkowej.

Sprawdzian już blisko? Zrób test z całego działu

10 losowych pytań z tematów działu, wynik w procentach i ocena od 1 do 6. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Test z działu · 10 pytań Wszystkie tematy: Matematyka