1Zmiana podstawy
- W logₐ b litera a to podstawa, b liczba logarytmowana, a c to nowa podstawa. Zakładamy a, c > 0, a, c ≠ 1 oraz b > 0.
logₐ b = logc b przez logc a. Po prawej oba logarytmy mają tę samą nową podstawę c.
- Dane: log₄ 8.
- Wzór z nową podstawą c = 2: log₄ 8 = log₂ 8 przez log₂ 4.
- Obliczenia: log₂ 8 = 3 i log₂ 4 = 2, więc wynik to 3 przez 2.
- Odpowiedź: log₄ 8 = 1,5 (sprawdzenie: 41,5 = 2³ = 8).
- Wnioski: logₐ b · logb a = 1 (dla b ≠ 1) oraz logₐ 1 przez b = −logₐ b.
2Niewiadoma w wykładniku
- Staraj się sprowadzić obie strony do tej samej podstawy: 2x+1 = 8 = 2³, więc x + 1 = 3 i x = 2.
- Gdy się nie da, użyj definicji logarytmu: z 3ˣ = 5 wynika x = log₃ 5 ≈ 1,46.
- Czasem pomaga podstawienie. W 4ˣ − 3 · 2ˣ + 2 = 0 weź t = 2ˣ (t > 0): t² − 3t + 2 = 0, więc t = 1 lub t = 2, czyli x = 0 lub x = 1.
3Niewiadoma pod logarytmem
- Najpierw dziedzina: wyrażenie pod logarytmem dodatnie.
- Dla log₂(x − 1) = 3 mamy x > 1. Zamieniasz na potęgę: x − 1 = 2³ = 8, więc x = 9.
- Dane: log₂ x + log₂(x − 2) = 3.
- Dziedzina: x > 0 i x − 2 > 0, czyli x > 2.
- Wzór na sumę: log₂ [x(x − 2)] = 3, więc x(x − 2) = 2³ = 8.
- Obliczenia: x² − 2x − 8 = 0, czyli (x − 4)(x + 2) = 0, więc x = 4 lub x = −2.
- Odpowiedź: x = 4, bo −2 nie należy do dziedziny.
Pozostawienie wyniku spoza dziedziny. Po przekształceniach równanie może „wytworzyć” rozwiązanie, które nie ma sensu dla logarytmu.
✎Ściąga: Logarytmy: zmiana podstawy i równania
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- logₐ b = logc b przez logc a. Po prawej oba logarytmy mają tę samą nową podstawę c.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Wartość log₄ 8 wynosi
- A2
- B4
- C2 przez 3
- D3 przez 2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 3 przez 2 – log₄ 8 = log₂ 8 przez log₂ 4 = 3 przez 2.
Iloczyn log₃ 5 · log₅ 3 jest równy
- A1
- B15
- C8
- D0
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 1 – logₐ b · logb a = 1 dla b ≠ 1, bo z wzoru na zmianę podstawy log₅ 3 = 1 przez log₃ 5.
Wartość log₂ 1 przez 8 wynosi
- A−3
- B−1 przez 3
- C1 przez 3
- D3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: −3 – 2⁻³ = 1 przez 8.
Rozwiązaniem równania 2x+1 = 8 jest
- Ax = 2
- Bx = 4
- Cx = 1
- Dx = 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: x = 2 – 8 = 2³, więc x + 1 = 3.
Rozwiązaniem równania 3ˣ = 5 jest
- Ax = log₅ 3
- Bx = log₃ 5
- Cx = 5 przez 3
- Dx = 5³
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: x = log₃ 5 – Z definicji logarytmu 3ˣ = 5 ⇔ x = log₃ 5.
Rozwiązaniem równania log₂(x − 1) = 3 jest
- Ax = 7
- Bx = 9
- Cx = 6
- Dx = 4
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: x = 9 – x − 1 = 2³ = 8, a x = 9 spełnia warunek x > 1.
Równanie 4ˣ − 3 · 2ˣ + 2 = 0 ma rozwiązania
- Atylko x = 1
- Bx = 1 i x = 2
- Cx = 0 i x = 2
- Dx = 0 i x = 1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: x = 0 i x = 1 – Dla t = 2ˣ: t² − 3t + 2 = 0, więc t = 1 lub t = 2.
Równanie log₂ x + log₂(x − 2) = 3 ma rozwiązanie
- Ax = 4 i x = −2
- Bx = 4
- Cx = 8
- Dx = −2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: x = 4 – Po przekształceniu x = 4 lub x = −2, ale dziedzina to x > 2.
Cały dział „Liczby rzeczywiste”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.