1Co oznacza pierwiastek
- pierwiastek z a to liczba nieujemna, której kwadrat wynosi a. Pod pierwiastkiem musi być a ≥ 0. Zatem pierwiastek z 9 = 3, a nie −3.
- 3pierwiastek stopnia 3 z a to liczba, której sześcian wynosi a. Tu a może być ujemne: 3pierwiastek stopnia 3 z −8 = −2, bo (−2)³ = −8.
- Ogólnie npierwiastek stopnia n z a (n = 2, 3, 4, …): dla n parzystego musi być a ≥ 0, a wynik jest nieujemny; dla n nieparzystego a może być dowolne, a wynik ma znak a. Np. 4pierwiastek stopnia 4 z 16 = 2, 5pierwiastek stopnia 5 z −32 = −2.
- Gdy pod pierwiastkiem jest kwadrat, uważaj: pierwiastek z a² = |a|. Kreski |a| to wartość bezwzględna, czyli odległość a od zera. Dlatego pierwiastek z (−5)² = 5.
2Jak upraszczać
pierwiastek z a · pierwiastek z b = pierwiastek z a · b oraz pierwiastek z a przez pierwiastek z b = pierwiastek z a przez b. Litery a i b to liczby pod pierwiastkami: a ≥ 0 i b ≥ 0, a w ilorazie b > 0. Tak samo działa to dla pierwiastków wyższych stopni, np. 3pierwiastek stopnia 3 z 2 · 3pierwiastek stopnia 3 z 4 = 3pierwiastek stopnia 3 z 8 = 2.
- Wyłączanie czynnika przed znak: szukasz pod pierwiastkiem kwadratu. pierwiastek z 50 = pierwiastek z 25 · 2 = 5pierwiastek z 2. Przy trzecim stopniu szukasz sześcianu: 3pierwiastek stopnia 3 z 54 = 3pierwiastek stopnia 3 z 27 · 2 = 33pierwiastek stopnia 3 z 2.
- Przykład. Dane: pierwiastek z 12 · pierwiastek z 3.
- Wzór: pierwiastek z a · pierwiastek z b = pierwiastek z ab.
- Obliczenia: pierwiastek z 12 · 3 = pierwiastek z 36.
- Odpowiedź: 6.
- Dodawanie: tylko takie same pierwiastki. 2pierwiastek z 3 + 5pierwiastek z 3 = 7pierwiastek z 3. Natomiast pierwiastek z 2 + pierwiastek z 3 zostaje sumą. Czasem trzeba najpierw uprościć: 3pierwiastek z 2 + pierwiastek z 8 = 3pierwiastek z 2 + 2pierwiastek z 2 = 5pierwiastek z 2.
Liczba 3pierwiastek z 2 + pierwiastek z 8 jest równa
pierwiastek z 8 = 2pierwiastek z 2, więc 3pierwiastek z 2 + 2pierwiastek z 2 = 5pierwiastek z 2.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Pierwiastek w mianowniku
- Pomnóż licznik i mianownik przez ten sam pierwiastek: 6 przez pierwiastek z 3 = 6pierwiastek z 3 przez 3 = 2pierwiastek z 3.
- Przy sumie lub różnicy mnożysz przez wyrażenie z przeciwnym znakiem. Pomaga wzór (a − b)(a + b) = a² − b².
- Przykład: 1 przez pierwiastek z 5 − 2 = pierwiastek z 5 + 2 przez (pierwiastek z 5 − 2)(pierwiastek z 5 + 2) = pierwiastek z 5 + 2 przez 5 − 4 = pierwiastek z 5 + 2.
pierwiastek z a + b = pierwiastek z a + pierwiastek z b
Sprawdź na 9 i 16: pierwiastek z 25 = 5, ale 3 + 4 = 7. Drugi częsty błąd to pierwiastek z x² = x. Dla x = −3 wyszłoby −3, a pierwiastek nie bywa ujemny, więc pierwiastek z x² = |x|.
✎Ściąga: Pierwiastki i działania na pierwiastkach
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- pierwiastek z a · pierwiastek z b = pierwiastek z a · b oraz pierwiastek z a przez pierwiastek z b = pierwiastek z a przez b. Litery a i b to liczby pod pierwiastkami: a ≥ 0 i b ≥ 0, a w ilorazie b > 0. Tak samo działa to dla pierwiastków wyższych stopni, np. 3pierwiastek stopnia 3 z 2 · 3pierwiastek stopnia 3 z 4 = 3pierwiastek stopnia 3 z 8 = 2.
- pierwiastek z a to liczba nieujemna, której kwadrat wynosi a. Pod pierwiastkiem musi być a ≥ 0. Zatem pierwiastek z 9 = 3, a nie −3.
- 3pierwiastek stopnia 3 z a to liczba, której sześcian wynosi a. Tu a może być ujemne: 3pierwiastek stopnia 3 z −8 = −2, bo (−2)³ = −8.
- Wyłączanie czynnika przed znak: szukasz pod pierwiastkiem kwadratu. pierwiastek z 50 = pierwiastek z 25 · 2 = 5pierwiastek z 2. Przy trzecim stopniu szukasz sześcianu: 3pierwiastek stopnia 3 z 54 = 3pierwiastek stopnia 3 z 27 · 2 = 33pierwiastek stopnia 3 z 2.
- Dodawanie: tylko takie same pierwiastki. 2pierwiastek z 3 + 5pierwiastek z 3 = 7pierwiastek z 3. Natomiast pierwiastek z 2 + pierwiastek z 3 zostaje sumą. Czasem trzeba najpierw uprościć: 3pierwiastek z 2 + pierwiastek z 8 = 3pierwiastek z 2 + 2pierwiastek z 2 = 5pierwiastek z 2.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Wartość pierwiastek z (−7)² wynosi
- A−7
- B±7
- C7
- D49
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 7 – pierwiastek z a² = |a|, więc pierwiastek z (−7)² = |−7| = 7.
Liczba pierwiastek z 72 jest równa
- A12pierwiastek z 6
- B6pierwiastek z 3
- C36pierwiastek z 2
- D6pierwiastek z 2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 6pierwiastek z 2 – 72 = 36 · 2, a pierwiastek z 36 = 6, więc pierwiastek z 72 = 6pierwiastek z 2.
Liczba 3pierwiastek z 2 + pierwiastek z 8 jest równa
- A3pierwiastek z 10
- B5pierwiastek z 2
- C4pierwiastek z 2
- Dpierwiastek z 10
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 5pierwiastek z 2 – pierwiastek z 8 = 2pierwiastek z 2, więc 3pierwiastek z 2 + 2pierwiastek z 2 = 5pierwiastek z 2.
Po usunięciu niewymierności z mianownika 6 przez pierwiastek z 3 daje
- A2
- Bpierwiastek z 3 przez 2
- C2pierwiastek z 3
- D6pierwiastek z 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 2pierwiastek z 3 – Mnożymy licznik i mianownik przez pierwiastek z 3: 6pierwiastek z 3 przez 3 = 2pierwiastek z 3.
Liczba 1 przez pierwiastek z 3 − pierwiastek z 2 jest równa
- Apierwiastek z 3 − pierwiastek z 2
- Bpierwiastek z 3 + pierwiastek z 2 przez 5
- Cpierwiastek z 3 + pierwiastek z 2
- D1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: pierwiastek z 3 + pierwiastek z 2 – Mnożymy przez (pierwiastek z 3 + pierwiastek z 2); w mianowniku wychodzi 3 − 2 = 1.
Iloczyn 3pierwiastek stopnia 3 z −27 · 3pierwiastek stopnia 3 z 8 jest równy
- A−6
- B6
- Cnie istnieje
- D−5
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: −6 – 3pierwiastek stopnia 3 z −27 = −3, 3pierwiastek stopnia 3 z 8 = 2, a −3 · 2 = −6. Pierwiastek trzeciego stopnia istnieje dla liczb ujemnych.
Dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest równość
- Apierwiastek z x² = x
- Bpierwiastek z x² = −x
- Cpierwiastek z x² = x²
- Dpierwiastek z x² = |x|
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: pierwiastek z x² = |x| – Wynik pierwiastka kwadratowego jest nieujemny, więc dla x < 0 musi to być −x, czyli |x|.
Wartość pierwiastek z 9 + 16 wynosi
- A25
- B5
- C12,5
- D7
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 5 – Najpierw dodajesz pod pierwiastkiem: pierwiastek z 25 = 5. Pierwiastek sumy nie jest sumą pierwiastków.
Cały dział „Liczby rzeczywiste”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.