1Co znaczy wykładnik
- W aⁿ liczba a to podstawa, a n to wykładnik. Dla n = 1, 2, 3, … to a · a · … · a (n czynników).
- a⁰ = 1 dla a ≠ 0. Ujemny wykładnik to odwrotność: a⁻ⁿ = 1 przez aⁿ.
- Wykładnik ułamkowy to pierwiastek: am przez n = npierwiastek stopnia n z aᵐ = (npierwiastek stopnia n z a)ᵐ dla a > 0, m całkowitego i n naturalnego, n ≥ 2.
- Dla a > 0 potęgę określa się też dla wykładnika niewymiernego (np. 2pierwiastek z 2 ≈ 2,67). Prawa działań są te same.
| Zapis | Obliczenie | Wynik |
|---|---|---|
| 2⁻³ | 1 przez 2³ | 1 przez 8 |
| (2 przez 3)⁻² | (3 przez 2)² | 9 przez 4 |
| 82 przez 3 | (3pierwiastek stopnia 3 z 8)² | 4 |
| 16−1 przez 4 | 1 przez 4pierwiastek stopnia 4 z 16 | 1 przez 2 |
2Prawa działań
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ; (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ; (ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ; (a przez b)ⁿ = aⁿ przez bⁿ. Podstawy a, b są dodatnie, a m, n to dowolne wykładniki wymierne.
- Dane: 2⁵ · 4³ przez 8².
- Sprowadź do podstawy 2: 4³ = (2²)³ = 2⁶ i 8² = (2³)² = 2⁶.
- Obliczenia: 2⁵ · 2⁶ przez 2⁶ = 2⁵⁺⁶⁻⁶ = 2⁵.
- Odpowiedź: 32.
3Porównywanie potęg
- Dla a > 1 większy wykładnik daje większą potęgę, a dla 0 < a < 1 mniejszą. Stąd 32 przez 3 < 33 przez 4, bo 2 przez 3 < 3 przez 4.
- Gdy podstawy są różne, sprowadź do wspólnego wykładnika. 2¹⁰⁰ = (2⁵)²⁰ = 32²⁰ jest większe od 3⁶⁰ = (3³)²⁰ = 27²⁰.
4Notacja wykładnicza
- Liczbę zapisujesz jako c · 10ⁿ, gdzie 1 ≤ c < 10, a n jest całkowite. 45 000 = 4,5 · 10⁴, a 0,0007 = 7 · 10⁻⁴.
- Mnożenie: (3 · 10⁵) · (2 · 10⁻²) = 6 · 10³.
−3² to −9, a nie 9. Minus nie jest w potędze, bo kwadrat dotyczy samej trójki. Dopiero (−3)² = 9. Drugi błąd to (a + b)² = a² + b² oraz aᵐ + aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Prawa dotyczą mnożenia, nie dodawania.
Liczba 0,0007 w notacji wykładniczej to
Przecinek przesuwamy o 4 miejsca w prawo, więc wykładnik wynosi −4.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
✎Ściąga: Potęgi, wykładnik wymierny i notacja wykładnicza
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ; (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ; (ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ; (a przez b)ⁿ = aⁿ przez bⁿ. Podstawy a, b są dodatnie, a m, n to dowolne wykładniki wymierne.
- a⁰ = 1 dla a ≠ 0. Ujemny wykładnik to odwrotność: a⁻ⁿ = 1 przez aⁿ.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Wartość 2⁻³ wynosi
- A1 przez 8
- B−6
- C−8
- D8
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 1 przez 8 – Wykładnik ujemny oznacza odwrotność: 1 przez 2³ = 1 przez 8.
Wartość 82 przez 3 wynosi
- A4
- B64
- C2
- D16 przez 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 4 – 82 przez 3 = (3pierwiastek stopnia 3 z 8)² = 2² = 4.
Wartość 16−1 przez 4 wynosi
- A−1 przez 2
- B1 przez 2
- C−2
- D2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 1 przez 2 – 4pierwiastek stopnia 4 z 16 = 2, a ujemny wykładnik daje odwrotność: 1 przez 2.
Wartość wyrażenia 2⁵ · 4³ przez 8² wynosi
- A8
- B64
- C32
- D128
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 32 – Po sprowadzeniu do podstawy 2 mamy 2⁵ · 2⁶ przez 2⁶ = 2⁵ = 32.
Wartość −3² wynosi
- A6
- B9
- C−6
- D−9
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: −9 – Kwadrat dotyczy trójki, a minus zostaje przed potęgą. Dopiero (−3)² = 9.
Wartość (2 przez 3)⁻² wynosi
- A−9 przez 4
- B4 przez 9
- C−4 przez 9
- D9 przez 4
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 9 przez 4 – Odwracasz ułamek i podnosisz do kwadratu: (3 przez 2)² = 9 przez 4.
Które porównanie jest prawdziwe?
- A32 przez 3 > 33 przez 4
- B32 przez 3 < 33 przez 4
- C(1 przez 2)⁻³ < (1 przez 2)⁻²
- D2¹⁰⁰ < 3⁶⁰
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 32 przez 3 < 33 przez 4 – Podstawa 3 > 1, więc potęga rośnie z wykładnikiem, a 2 przez 3 < 3 przez 4. Pozostałe są fałszywe.
Liczba 0,0007 w notacji wykładniczej to
- A7 · 10⁻⁴
- B0,7 · 10⁻⁴
- C7 · 10⁻³
- D7 · 10⁴
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 7 · 10⁻⁴ – Przecinek przesuwamy o 4 miejsca w prawo, więc wykładnik wynosi −4.
Cały dział „Liczby rzeczywiste”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.