1Cztery szuflady
- ℕ, liczby naturalne: 0, 1, 2, 3, … W polskich podręcznikach zero należy do ℕ.
- ℤ, liczby całkowite: do naturalnych dokładamy ujemne, czyli …, −2, −1, 0, 1, 2, …
- ℚ, liczby wymierne: da się je zapisać jako ułamek p przez q, gdzie p i q to liczby całkowite, a q ≠ 0 (przez zero nie dzielimy). Np. −3 = −3 przez 1, 0,25 = 1 przez 4.
- Liczby niewymierne nie mają takiego zapisu. Należą do nich pierwiastek z 2, pierwiastek z 3 i π (stosunek obwodu koła do jego średnicy, ok. 3,14).
- ℝ, liczby rzeczywiste: wymierne i niewymierne razem. Każda ma swoje miejsce na osi liczbowej.
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Znak ⊂ czytaj „jest zawarty w”: każda liczba naturalna jest też całkowita, wymierna i rzeczywista.
2Co mówią cyfry po przecinku
- Liczba wymierna ma rozwinięcie skończone (3 przez 8 = 0,375) albo okresowe (1 przez 3 = 0,(3); nawias to okres, czyli powtarzający się fragment).
- Liczba niewymierna ma rozwinięcie nieskończone i bez okresu: pierwiastek z 2 = 1,41421356…
- Chcesz wiedzieć, czy ułamek „się skończy”? Skróć go. Jeśli w mianowniku zostały tylko czynniki 2 i 5, rozwinięcie jest skończone: 7 przez 40, bo 40 = 2³ · 5, daje 0,175.
Które zdanie jest prawdziwe?
Całkowitą n zapiszesz jako n przez 1, więc ℤ ⊂ ℚ. Pozostałe zdania mają kontrprzykłady: 1 przez 2, pierwiastek z 2, pierwiastek z 9.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Zamiana 0,(7) na ułamek
- Dane: x = 0,(7) = 0,777…
- Pomysł: pomnóż przez 10, żeby ogon po przecinku został ten sam: 10x = 7,777…
- Obliczenia: 10x − x = 7, czyli 9x = 7.
- Odpowiedź: x = 7 przez 9. Przy okresie dwucyfrowym mnożysz przez 100: 0,(12) = 12 przez 99 = 4 przez 33.
- Gdy przed okresem są cyfry, np. x = 0,1(6): 100x − 10x = 16,(6) − 1,(6) = 15, więc 90x = 15 i x = 1 przez 6.
„pierwiastek to zawsze liczba niewymierna”
pierwiastek z 9 = 3 jest wymierna. Niewymierne są pierwiastki z liczb, które nie są kwadratami, np. pierwiastek z 2, pierwiastek z 20. Suma dwóch niewymiernych też może być wymierna: pierwiastek z 2 + (3 − pierwiastek z 2) = 3.
4Przybliżenia
- Zaokrąglając, patrzysz na pierwszą odrzucaną cyfrę: 0–4 w dół, 5–9 w górę. Np. pierwiastek z 2 = 1,4142… ≈ 1,41.
- Błąd bezwzględny to |x − a|, gdzie x to wartość dokładna, a litera a to przybliżenie. Błąd względny to |x − a| przez |x| · 100%.
- Np. π ≈ 3,14: błąd bezwzględny to ok. 0,0016, a względny ok. 0,05%.
Liczba pierwiastek z 2 + (3 − pierwiastek z 2) jest
Pierwiastki się skracają i zostaje 3, czyli liczba wymierna.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
✎Ściąga: Zbiory liczbowe i rozwinięcia dziesiętne
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Znak ⊂ czytaj „jest zawarty w”: każda liczba naturalna jest też całkowita, wymierna i rzeczywista.
- ℕ, liczby naturalne: 0, 1, 2, 3, … W polskich podręcznikach zero należy do ℕ.
- ℤ, liczby całkowite: do naturalnych dokładamy ujemne, czyli …, −2, −1, 0, 1, 2, …
- ℚ, liczby wymierne: da się je zapisać jako ułamek p przez q, gdzie p i q to liczby całkowite, a q ≠ 0 (przez zero nie dzielimy). Np. −3 = −3 przez 1, 0,25 = 1 przez 4.
- Liczby niewymierne nie mają takiego zapisu. Należą do nich pierwiastek z 2, pierwiastek z 3 i π (stosunek obwodu koła do jego średnicy, ok. 3,14).
- ℝ, liczby rzeczywiste: wymierne i niewymierne razem. Każda ma swoje miejsce na osi liczbowej.
- Błąd bezwzględny to |x − a|, gdzie x to wartość dokładna, a litera a to przybliżenie. Błąd względny to |x − a| przez |x| · 100%.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Która liczba jest niewymierna?
- A0,(15)
- Bpierwiastek z 16
- Cpierwiastek z 20
- D22 przez 7
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: pierwiastek z 20 – pierwiastek z 16 = 4, 22 przez 7 to ułamek, a 0,(15) ma okres, więc te liczby są wymierne. Liczba 20 nie jest kwadratem liczby całkowitej, więc pierwiastek z 20 = 2pierwiastek z 5 jest niewymierna.
Ułamek okresowy 0,(5) jest równy
- A5 przez 9
- B1 przez 2
- C5 przez 10
- D5 przez 99
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 5 przez 9 – Dla x = 0,(5) mamy 10x − x = 5, więc 9x = 5.
Ułamek okresowy 0,(18) jest równy
- A9 przez 50
- B2 przez 11
- C2 przez 9
- D1 przez 5
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 2 przez 11 – Okres ma dwie cyfry, więc 100x − x = 18, czyli x = 18 przez 99 = 2 przez 11.
Które zdanie jest prawdziwe?
- AKażda liczba wymierna jest całkowita
- BKażdy pierwiastek kwadratowy jest niewymierny
- CKażda liczba całkowita jest wymierna
- DKażda liczba rzeczywista jest wymierna
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: Każda liczba całkowita jest wymierna – Całkowitą n zapiszesz jako n przez 1, więc ℤ ⊂ ℚ. Pozostałe zdania mają kontrprzykłady: 1 przez 2, pierwiastek z 2, pierwiastek z 9.
Który ułamek ma skończone rozwinięcie dziesiętne?
- A5 przez 12
- B1 przez 3
- C3 przez 40
- D2 przez 7
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 3 przez 40 – 40 = 2³ · 5, więc w mianowniku są tylko 2 i 5. Mianowniki 3, 12 i 7 mają inne czynniki pierwsze.
Liczba pierwiastek z 2 + (3 − pierwiastek z 2) jest
- Awymierna
- Bnieokreślona
- Cujemna
- Dniewymierna
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: wymierna – Pierwiastki się skracają i zostaje 3, czyli liczba wymierna.
Liczba 0,(9) jest równa
- A1
- B0,9
- C9 przez 100
- D9 przez 10
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 1 – Dla x = 0,(9) mamy 10x − x = 9, więc x = 1.
Ułamek okresowy 0,1(6) jest równy
- A8 przez 45
- B17 przez 99
- C1 przez 6
- D16 przez 99
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 1 przez 6 – 100x − 10x = 16,(6) − 1,(6) = 15, więc x = 15 przez 90 = 1 przez 6.
Cały dział „Liczby rzeczywiste”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.