1Pytanie o wykładnik
- Zapis logₐ b = c czytaj: „do jakiej potęgi trzeba podnieść a, żeby wyszło b?”. Litera a to podstawa logarytmu, b to liczba logarytmowana, a c to wynik.
logₐ b = c ⇔ aᶜ = b. Warunki: a > 0, a ≠ 1 oraz b > 0. Znak ⇔ znaczy, że oba zapisy mówią to samo.
| Logarytm | Pytanie | Wynik |
|---|---|---|
| log₂ 8 | 2 do jakiej potęgi daje 8? | 3 |
| log₃ 1 przez 9 | 3 do jakiej potęgi daje 1 przez 9? | −2 |
| log 1000 | 10 do jakiej potęgi daje 1000? | 3 |
| log₇ 1 oraz log₇ 7 | 7⁰ = 1 oraz 7¹ = 7 | 0 oraz 1 |
- Zapis log b bez podstawy oznacza logarytm dziesiętny, czyli podstawę 10.
2Wzory na łączenie logarytmów
- Wszędzie podstawa a spełnia a > 0, a ≠ 1, a liczby x, y są dodatnie.
logₐ x + logₐ y = logₐ (x · y); logₐ x − logₐ y = logₐ x przez y; logₐ xᵏ = k · logₐ x, gdzie k to dowolna liczba rzeczywista.
- Przykład 1. log₃ 54 − log₃ 2 = log₃ 54 przez 2 = log₃ 27 = 3.
- Przykład 2. Dane: 2 · log₅ 10 − log₅ 4.
- Wzór na potęgę: 2 · log₅ 10 = log₅ 10² = log₅ 100.
- Wzór na różnicę: log₅ 100 − log₅ 4 = log₅ 100 przez 4 = log₅ 25.
- Odpowiedź: 2, bo 5² = 25.
- Przydatne: alogₐ b = b. Np. 2log₂ 7 = 7.
Które wyrażenie jest poprawne dla dodatnich x i y oraz podstawy a ≠ 1?
Logarytm zamienia mnożenie na dodawanie. Pozostałe zapisy nie są wzorami.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Do czego to służy
- Skala Richtera: R = log A przez A₀, gdzie A to amplituda drgań gruntu, a A₀ amplituda wzorcowa. Wzrost R o 1 oznacza 10 razy większą amplitudę. Trzęsienie o sile 6 ma więc amplitudę 100 razy większą niż o sile 4.
- Szukanie czasu: bakterie podwajają się co godzinę. Kiedy będzie ich 10 razy więcej? Rozwiązujesz 2ᵗ = 10, więc t = log₂ 10 ≈ 3,32 godziny.
Zapis „logₐ (x + y) = logₐ x + logₐ y”. Wzór na sumę dotyczy iloczynu pod logarytmem. Z kolei log₂ (−4) nie istnieje, bo liczba logarytmowana musi być dodatnia.
✎Ściąga: Logarytmy
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- logₐ b = c ⇔ aᶜ = b. Warunki: a > 0, a ≠ 1 oraz b > 0. Znak ⇔ znaczy, że oba zapisy mówią to samo.
- logₐ x + logₐ y = logₐ (x · y); logₐ x − logₐ y = logₐ x przez y; logₐ xᵏ = k · logₐ x, gdzie k to dowolna liczba rzeczywista.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Wartość log₂ 32 wynosi
- A30
- B16
- C5
- D2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 5 – 2⁵ = 32, więc wykładnik to 5.
Wartość log₃ 1 przez 9 wynosi
- A1 przez 9
- B−2
- C2
- D−1 przez 2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: −2 – 3⁻² = 1 przez 9, więc wykładnik to −2.
Wartość log₆ 4 + log₆ 9 jest równa
- A2
- Blog₆ 13
- C36
- D13
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 2 – Suma logarytmów to logarytm iloczynu: log₆ 36 = 2.
Wartość log₃ 54 − log₃ 2 jest równa
- A3
- Blog₃ 52
- C52
- D27
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 3 – Różnica to logarytm ilorazu: log₃ 27 = 3.
Wartość 2 · log₅ 10 − log₅ 4 jest równa
- A1
- B2
- C4
- Dlog₅ 16
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 2 – 2 · log₅ 10 = log₅ 100, a log₅ 100 − log₅ 4 = log₅ 25 = 2.
Które wyrażenie jest poprawne dla dodatnich x i y oraz podstawy a ≠ 1?
- Alogₐ (x + y) = logₐ x + logₐ y
- Blogₐ (xy) = logₐ x · logₐ y
- Clogₐ (x − y) = logₐ x − logₐ y
- Dlogₐ (xy) = logₐ x + logₐ y
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: logₐ (xy) = logₐ x + logₐ y – Logarytm zamienia mnożenie na dodawanie. Pozostałe zapisy nie są wzorami.
Który logarytm NIE istnieje?
- Alog₅ 1
- Blog 0,01
- Clog₂ (−4)
- Dlog₂ 1 przez 4
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: log₂ (−4) – Liczba logarytmowana musi być dodatnia, a −4 jest ujemne.
Trzęsienie ziemi ma R = 7, a drugie R = 5. Amplituda pierwszego jest większa
- A2 razy
- B100 razy
- C10 razy
- D7 razy
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 100 razy – R rośnie o 1, gdy amplituda rośnie 10 razy. Różnica 2 daje 10 · 10 = 100.
Cały dział „Liczby rzeczywiste”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.