1Liczby pierwsze i rozkład
- Liczba pierwsza to liczba naturalna, która ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie (2, 3, 5, 7, 11, …). Liczba 1 nie jest ani pierwsza, ani złożona.
- Rozkład na czynniki pierwsze: 60 = 2² · 3 · 5.
- Cechy podzielności: przez 3 lub 9 – suma cyfr dzieli się przez 3 lub 9; przez 4 – dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4; przez 6 – liczba dzieli się przez 2 i przez 3.
2NWD i NWW
- NWD to największy wspólny dzielnik: wspólne czynniki w najmniejszych potęgach. NWW to najmniejsza wspólna wielokrotność: wszystkie czynniki w największych potęgach.
- Dane: 84 = 2² · 3 · 7 oraz 126 = 2 · 3² · 7.
- Obliczenia: NWD = 2 · 3 · 7 = 42, NWW = 2² · 3² · 7 = 252.
- Sprawdzenie: NWD · NWW = a · b, czyli 42 · 252 = 84 · 126 = 10 584.
Rozkład liczby 60 na czynniki pierwsze to
W rozkładzie mogą być tylko liczby pierwsze: 4 · 3 · 5 = 2² · 3 · 5.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Dzielenie z resztą
a = b · q + r, gdzie b ≥ 1, q to iloraz, a r to reszta, 0 ≤ r < b. Dla b = 3 każda liczba całkowita ma postać 3k, 3k + 1 lub 3k + 2.
- Kwadrat liczby całkowitej daje przy dzieleniu przez 4 resztę 0 lub 1: (2k)² = 4k², (2k + 1)² = 4(k² + k) + 1. Reszta 3 wyklucza więc kwadrat.
- Iloczyn czterech kolejnych liczb całkowitych dzieli się przez 24: są wśród nich dwie parzyste (jedna dzieli się przez 4, razem 8) i liczba podzielna przez 3, a 8 i 3 są względnie pierwsze.
4Inne metody dowodu
- Dowód nie wprost: zakładasz, że teza jest fałszywa, i dochodzisz do sprzeczności. Tak dowodzi się, że pierwiastek z 2 jest niewymierna: z pierwiastek z 2 = p przez q (ułamek nieskracalny) mamy p² = 2q², więc p jest parzyste (p = 2s), a stąd q² = 2s² i q też jest parzyste. To sprzeczność z nieskracalnością.
- Nie wprost wykazuje się też, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele: gdyby p₁, …, pₖ były wszystkie, to liczba p₁ · … · pₖ + 1 przy dzieleniu przez każdą z nich daje resztę 1, więc ma dzielnik pierwszy spoza listy. Sprzeczność.
- Kontrprzykład obala twierdzenie ogólne. Zdanie „n² + n + 41 jest pierwsze dla każdego n” obala n = 40: 1681 = 41².
Uznanie twierdzenia za dowiedzione, bo działa dla kilku liczb. Kontrprzykład może obalić twierdzenie, ale przykłady go nie dowodzą.
Kwadrat liczby całkowitej przy dzieleniu przez 4 daje resztę
(2k)² = 4k² (reszta 0), (2k + 1)² = 4(k² + k) + 1 (reszta 1).
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
✎Ściąga: Podzielność, liczby pierwsze i dowody na liczbach całkowitych
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- a = b · q + r, gdzie b ≥ 1, q to iloraz, a r to reszta, 0 ≤ r < b. Dla b = 3 każda liczba całkowita ma postać 3k, 3k + 1 lub 3k + 2.
- Liczba pierwsza to liczba naturalna, która ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie (2, 3, 5, 7, 11, …). Liczba 1 nie jest ani pierwsza, ani złożona.
- NWD to największy wspólny dzielnik: wspólne czynniki w najmniejszych potęgach. NWW to najmniejsza wspólna wielokrotność: wszystkie czynniki w największych potęgach.
- Dowód nie wprost: zakładasz, że teza jest fałszywa, i dochodzisz do sprzeczności. Tak dowodzi się, że pierwiastek z 2 jest niewymierna: z pierwiastek z 2 = p przez q (ułamek nieskracalny) mamy p² = 2q², więc p jest parzyste (p = 2s), a stąd q² = 2s² i q też jest parzyste. To sprzeczność z nieskracalnością.
- Kontrprzykład obala twierdzenie ogólne. Zdanie „n² + n + 41 jest pierwsze dla każdego n” obala n = 40: 1681 = 41².
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Rozkład liczby 60 na czynniki pierwsze to
- A4 · 15
- B2 · 5 · 6
- C2² · 3 · 5
- D2 · 3 · 10
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 2² · 3 · 5 – W rozkładzie mogą być tylko liczby pierwsze: 4 · 3 · 5 = 2² · 3 · 5.
Która liczba jest pierwsza?
- A91
- B29
- C51
- D1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 29 – 51 = 3 · 17 i 91 = 7 · 13, a 1 nie jest pierwsza.
NWW(12, 18) wynosi
- A6
- B36
- C216
- D72
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 36 – 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3², więc bierzemy 2² · 3² = 36.
NWD(84, 126) wynosi
- A14
- B42
- C252
- D21
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 42 – Wspólne czynniki w najmniejszych potęgach: 2 · 3 · 7 = 42.
Kwadrat liczby całkowitej przy dzieleniu przez 4 daje resztę
- A0, 1, 2 lub 3
- B0 lub 1
- C0, 1 lub 2
- Dtylko 1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 0 lub 1 – (2k)² = 4k² (reszta 0), (2k + 1)² = 4(k² + k) + 1 (reszta 1).
Iloczyn czterech kolejnych liczb całkowitych zawsze dzieli się przez
- A16
- B24
- C48
- D120
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 24 – Wśród nich są dwie parzyste (razem 8) i liczba podzielna przez 3. Dla 1 · 2 · 3 · 4 = 24 nie dzieli się przez 48 ani 120.
Dowód nie wprost polega na tym, że
- Apomijamy założenia
- Bszukamy jednego kontrprzykładu
- Csprawdzamy kilka przykładów
- Dzakładamy fałsz tezy i dochodzimy do sprzeczności
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: zakładamy fałsz tezy i dochodzimy do sprzeczności – Sprzeczność pokazuje, że teza nie może być fałszywa.
Który n jest kontrprzykładem dla zdania „n² + n + 41 jest pierwsze dla każdego n”?
- A10
- B1
- C40
- D2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 40 – Dla n = 40 mamy 1600 + 40 + 41 = 1681 = 41², a dla 1, 2, 10 wychodzi 43, 47, 151, czyli liczby pierwsze.
Cały dział „Liczby rzeczywiste”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.