Wielomiany – powtórka do sprawdzianu

Wielomiany – pojęcie, działania i wzory skróconego mnożenia

• (a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b²; a² − b² = (a − b)(a + b). Litery a i b to liczby albo całe wyrażenia.
• Jednomian ma postać axⁿ, np. 5x³. Wielomian jednej zmiennej to suma takich składników: W(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀, gdzie aₙ ≠ 0. Liczby aₙ, …, a₀ to współczynniki.
• Stopień to największy wykładnik przy x. Wyraz wolny a₀ to wynik dla x = 0, czyli W(0).

Rozkład wielomianu na czynniki i równania w postaci iloczynowej

• A · B = 0 ⇔ A = 0 lub B = 0. Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem.
• Wyłączanie wspólnego czynnika: x³ − 4x = x(x² − 4) = x(x − 2)(x + 2). Podobnie 6x³ − 9x² = 3x²(2x − 3).
• Trójmian kwadratowy: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂), gdy Δ > 0 (x₁, x₂ to miejsca zerowe), oraz a(x − x₀)² dla Δ = 0.

Dzielenie wielomianu przez dwumian, twierdzenie Bézouta i schemat Hornera (rozszerzenie)

• W(x) = (x − a) · Q(x) + r. W(x) to dzielna, (x − a) dzielnik, Q(x) iloraz (stopień o 1 mniejszy niż W), a r to reszta, czyli zwykła liczba.
• Twierdzenie Bézouta: a jest pierwiastkiem W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy W(x) dzieli się przez (x − a), czyli r = 0.
• Dlaczego to działa? Wymnóż (x − a)(b₂x² + b₁x + b₀) + r i porównaj ze współczynnikami W(x) = a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀: b₂ = a₃, b₁ = a₂ + a · b₂, b₀ = a₁ + a · b₁, r = a₀ + a · b₀.

Równania i nierówności wielomianowe (rozszerzenie)

• Przy nierówności nieostrej pierwiastek podwójny, w którym wykres tylko dotyka osi, należy do rozwiązania, nawet gdy leży osobno.

Symbol Newtona, trójkąt Pascala i wzór dwumianowy (rozszerzenie)

• Współczynniki rozwinięcia (a + b)ⁿ to wiersz n trójkąta Pascala (wiersze numerujemy od n = 0).
• (n po k) czytamy „n po k” (w podręcznikach pisze się n nad k). Wzór: (n po k) = n! przez k!(n − k)!, gdzie n, k to liczby całkowite, 0 ≤ k ≤ n, a n! = 1 · 2 · … · n (przy tym 0! = 1).
• (a + b)ⁿ = Σ (n po k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ, suma dla k = 0, 1, …, n. Tu a, b to dowolne liczby rzeczywiste, a n liczba naturalna. Współczynniki bierzesz z wiersza n trójkąta Pascala.

Wzory na sześciany i rozkład wielomianu: grupowanie, suma i różnica sześcianów (rozszerzenie)

• (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ oraz (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³.
• a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) oraz a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
• Rozłożony wielomian zapisany jako iloczyn czynników pozwala od razu odczytać pierwiastki i rozwiązać równanie.