1Dzielenie z resztą
W(x) = (x − a) · Q(x) + r. W(x) to dzielna, (x − a) dzielnik, Q(x) iloraz (stopień o 1 mniejszy niż W), a r to reszta, czyli zwykła liczba.
- Wstaw x = a: W(a) = 0 · Q(a) + r. Stąd r = W(a) (twierdzenie o reszcie).
- Twierdzenie Bézouta: a jest pierwiastkiem W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy W(x) dzieli się przez (x − a), czyli r = 0.
- Przykład: reszta z dzielenia x³ − 2x² − 5x + 6 przez (x − 2) to W(2) = 8 − 8 − 10 + 6 = −4.
2Schemat Hornera
- Zapisz współczynniki W po kolei (także zera przy brakujących potęgach). Pierwszy zniesiesz, a każdy następny wynik to współczynnik plus a · poprzedni wynik. Ostatnia liczba to reszta.
- Dane: W(x) = x³ − 2x² − 5x + 6 i dzielnik (x − 3), czyli a = 3.
- Obliczenia: 1; −2 + 3 · 1 = 1; −5 + 3 · 1 = −2; 6 + 3 · (−2) = 0.
- Odpowiedź: Q(x) = x² + x − 2, reszta 0. Więc W(x) = (x − 3)(x² + x − 2) = (x − 3)(x + 2)(x − 1).
- Dlaczego to działa? Wymnóż (x − a)(b₂x² + b₁x + b₀) + r i porównaj ze współczynnikami W(x) = a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀: b₂ = a₃, b₁ = a₂ + a · b₂, b₀ = a₁ + a · b₁, r = a₀ + a · b₀.
- Dzielnik x + 1 to x − (−1), więc a = −1. Dla 2x³ − 3x² + x − 5 reszta to W(−1) = −2 − 3 − 1 − 5 = −11.
Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy
To twierdzenie Bézouta: reszta r = W(a) wynosi 0.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Pierwiastki całkowite
- Jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma całkowity pierwiastek, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego.
- Dla x³ − 2x² − 5x + 6 sprawdzasz ±1, ±2, ±3, ±6. W(1) = 0, więc po podzieleniu przez (x − 1): (x − 1)(x − 3)(x + 2).
Przy dzieleniu przez (x + 1) podstawienie a = 1. Dla x + 1 mamy a = −1.
✎Ściąga: Dzielenie wielomianu przez dwumian, twierdzenie Bézouta i schemat Hornera
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- W(x) = (x − a) · Q(x) + r. W(x) to dzielna, (x − a) dzielnik, Q(x) iloraz (stopień o 1 mniejszy niż W), a r to reszta, czyli zwykła liczba.
- Twierdzenie Bézouta: a jest pierwiastkiem W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy W(x) dzieli się przez (x − a), czyli r = 0.
- Dlaczego to działa? Wymnóż (x − a)(b₂x² + b₁x + b₀) + r i porównaj ze współczynnikami W(x) = a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀: b₂ = a₃, b₁ = a₂ + a · b₂, b₀ = a₁ + a · b₁, r = a₀ + a · b₀.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Reszta z dzielenia x³ − 2x² − 5x + 6 przez (x − 2) wynosi
- A4
- B6
- C−4
- D0
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: −4 – W(2) = 8 − 8 − 10 + 6 = −4.
Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy
- Astopień W jest równy a
- BW(x) dzieli się przez (x + a)
- CW(x) dzieli się przez (x − a)
- DW(0) = a
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: W(x) dzieli się przez (x − a) – To twierdzenie Bézouta: reszta r = W(a) wynosi 0.
Dzielimy W(x) przez (x + 1). Które a wstawiamy w schemacie Hornera?
- Aa = −2
- Ba = 0
- Ca = 1
- Da = −1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: a = −1 – x + 1 = x − (−1).
Schemat Hornera dla x³ − 2x² − 5x + 6 i (x − 3) daje iloraz
- Ax² − 5x + 6
- Bx² + 5x − 2
- Cx² − x + 2
- Dx² + x − 2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: x² + x − 2 – Współczynniki: 1, 1, −2, reszta 0.
Po rozłożeniu x³ − 2x² − 5x + 6 otrzymujemy
- A(x − 3)(x² + x + 2)
- B(x − 1)(x − 3)(x + 2)
- C(x + 1)(x − 3)(x − 2)
- D(x − 1)(x + 3)(x + 2)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: (x − 1)(x − 3)(x + 2) – Czynniki dają pierwiastki 1, 3 i −2, a W(1) = W(3) = W(−2) = 0.
Całkowitych pierwiastków wielomianu x³ − 2x² − 5x + 6 szukamy wśród
- A0, 1, 2, 3
- B±1, ±5
- C±1, ±2, ±3, ±6
- Dliczb pierwszych
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: ±1, ±2, ±3, ±6 – Całkowity pierwiastek dzieli wyraz wolny 6.
Reszta z dzielenia 2x³ − 3x² + x − 5 przez (x + 1) wynosi
- A11
- B−11
- C−5
- D−7
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: −11 – W(−1) = −2 − 3 − 1 − 5 = −11.
Dzielnik (x − a), iloraz Q(x) i reszta r spełniają
- AW(x) = (x − a) + Q(x) · r
- BW(x) = (x − a) · Q(x) + r
- CW(x) = Q(x) − r
- DW(x) = (x + a) · Q(x)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: W(x) = (x − a) · Q(x) + r – To wzór na dzielenie z resztą.
Cały dział „Wielomiany”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.