1Rozkład na czynniki
- Wyłączanie wspólnego czynnika: x³ − 4x = x(x² − 4) = x(x − 2)(x + 2). Podobnie 6x³ − 9x² = 3x²(2x − 3).
- Trójmian kwadratowy: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂), gdy Δ > 0 (x₁, x₂ to miejsca zerowe), oraz a(x − x₀)² dla Δ = 0.
- Dane: 2x² − x − 3. Obliczenia: Δ = 1 + 24 = 25, x₁ = 1 − 5 przez 4 = −1, x₂ = 1 + 5 przez 4 = 3 przez 2. Odpowiedź: 2(x + 1)(x − 3 przez 2) = (x + 1)(2x − 3).
- Dla Δ < 0 (np. x² + 9) trójmianu nie rozłożysz na czynniki rzeczywiste.
2Równanie w postaci iloczynowej
A · B = 0 ⇔ A = 0 lub B = 0. Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem.
- (x − 2)(x + 5) = 0 daje x = 2 lub x = −5.
- (x − 1)(x² − 9) = 0 daje x ∈ {−3, 1, 3}.
- x(x − 1)(x² + 1) = 0 daje x = 0 lub x = 1. Czynnik x² + 1 nigdy nie jest zerem.
Wielomian x² + 9
Δ = −36 < 0, brak miejsc zerowych.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Gdy równanie nie jest zapisane iloczynem
- Dane: x³ − x² − 6x = 0. Wyłącz x: x(x² − x − 6) = 0. Trójmian ma Δ = 25, więc x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2).
- Odpowiedź: x ∈ {−2, 0, 3}.
Dzielenie obu stron przez x. Zgubisz wtedy rozwiązanie x = 0. Zamiast dzielić, wyłącz x przed nawias.
✎Ściąga: Rozkład wielomianu na czynniki i równania w postaci iloczynowej
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- A · B = 0 ⇔ A = 0 lub B = 0. Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem.
- Wyłączanie wspólnego czynnika: x³ − 4x = x(x² − 4) = x(x − 2)(x + 2). Podobnie 6x³ − 9x² = 3x²(2x − 3).
- Trójmian kwadratowy: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂), gdy Δ > 0 (x₁, x₂ to miejsca zerowe), oraz a(x − x₀)² dla Δ = 0.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Wielomian x³ − 4x rozkłada się na
- Ax²(x − 4)
- Bx(x − 2)(x + 2)
- Cx(x − 2)²
- D(x − 2)(x + 2)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: x(x − 2)(x + 2) – x³ − 4x = x(x² − 4) = x(x − 2)(x + 2).
Wielomian x² − 5x + 6 rozkłada się na
- A(x − 2)(x − 3)
- B(x − 1)(x − 6)
- C(x + 2)(x + 3)
- D(x + 2)(x − 3)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: (x − 2)(x − 3) – Miejsca zerowe to 2 i 3.
Wielomian 2x² − x − 3 rozkłada się na
- A(x + 1)(2x − 3)
- B(x − 1)(2x + 3)
- C(x + 3)(2x − 1)
- D(2x + 1)(x − 3)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: (x + 1)(2x − 3) – Δ = 25, pierwiastki −1 i 3 przez 2, czyli 2(x + 1)(x − 3 przez 2).
Rozwiązaniem równania (x − 1)(x² − 9) = 0 są liczby
- A1 i 3
- B1 i 9
- C−3, 1, 3
- D−1, −3, 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: −3, 1, 3 – x − 1 = 0 lub x² − 9 = 0, czyli x = ±3.
Równanie x(x − 1)(x² + 1) = 0 ma rozwiązania
- Atylko 0
- B0, 1 i −1
- C1 i −1
- D0 i 1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 0 i 1 – Czynnik x² + 1 jest zawsze dodatni, więc nie daje rozwiązań rzeczywistych.
Równanie x³ − x² − 6x = 0 ma rozwiązania
- A−2, 0, 3
- B−3, 0, 2
- C0 i 6
- D−2 i 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: −2, 0, 3 – x(x − 3)(x + 2) = 0.
Równanie x² = 3x rozwiązujemy
- Adzieląc przez x
- Bprzez x(x − 3) = 0
- Cpierwiastkując obie strony
- Ddodając 3x
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: przez x(x − 3) = 0 – Dzielenie przez x gubi rozwiązanie x = 0.
Wielomian x² + 9
- Arówna się (x − 3)(x + 3)
- Bnie rozkłada się na czynniki rzeczywiste
- Cma miejsca zerowe ±3
- Drówna się (x + 3)²
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: nie rozkłada się na czynniki rzeczywiste – Δ = −36 < 0, brak miejsc zerowych.
Cały dział „Wielomiany”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.