1Wzory na sześciany
- W poniższych wzorach a i b to dowolne liczby albo wyrażenia (np. a = 2x).
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ oraz (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³.
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) oraz a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
- Wzory na sześciany były już w klasie I (zakres rozszerzony); tu używasz ich do rozkładu wielomianów. Ogólny wzór na (a + b)ⁿ to dwumian Newtona – osobny temat.
- Trójmiany a² ± ab + b² nie rozkładają się dalej na rzeczywiste czynniki liniowe: np. x² + 2x + 4 ma Δ = 4 − 16 < 0.
2Suma i różnica sześcianów
- Przykład 1: x³ − 8 = x³ − 2³ = (x − 2)(x² + 2x + 4).
- Przykład 2: 8x³ + 27 = (2x)³ + 3³ = (2x + 3)(4x² − 6x + 9).
- Równanie x³ − 8 = 0 ma więc jedno rozwiązanie x = 2, bo drugi czynnik nigdy nie jest zerem.
Ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie x³ − 27 = 0?
x³ − 27 = (x − 3)(x² + 3x + 9), a drugi czynnik ma Δ = 9 − 36 < 0. Zostaje tylko x = 3.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Grupowanie wyrazów
- Łączymy wyrazy w pary tak, żeby w każdej dało się wyłączyć wspólny czynnik, a potem wyłączamy powtarzający się nawias.
- Przykład 1: x³ + 2x² − x − 2 = x²(x + 2) − (x + 2) = (x + 2)(x² − 1) = (x + 2)(x − 1)(x + 1).
- Przykład 2. Dane: x³ − 3x² − 4x + 12.
- Grupowanie: x²(x − 3) − 4(x − 3) = (x − 3)(x² − 4).
- Różnica kwadratów: x² − 4 = (x − 2)(x + 2).
- Odpowiedź: (x − 3)(x − 2)(x + 2).
4Kolejność działania
- Najpierw wyłącz wspólny czynnik, potem szukaj wzoru lub grupowania: x⁴ − x = x(x³ − 1) = x(x − 1)(x² + x + 1).
Rozłożony wielomian zapisany jako iloczyn czynników pozwala od razu odczytać pierwiastki i rozwiązać równanie.
(a + b)³ = a³ + b³
Brakuje wyrazów 3a²b i 3ab². W rozkładzie sumy sześcianów środkowy znak w drugim nawiasie to minus: a² − ab + b².
Rozkład wielomianu x³ − 3x² − 4x + 12 to
x²(x − 3) − 4(x − 3) = (x − 3)(x² − 4) = (x − 3)(x − 2)(x + 2).
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
✎Ściąga: Wzory na sześciany i rozkład wielomianu: grupowanie, suma i różnica sześcianów
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ oraz (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³.
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) oraz a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
- Rozłożony wielomian zapisany jako iloczyn czynników pozwala od razu odczytać pierwiastki i rozwiązać równanie.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Rozkład wielomianu x³ − 8 to
- A(x − 2)³
- B(x − 2)(x² + 4)
- C(x − 2)(x² + 2x + 4)
- D(x − 2)(x² − 2x + 4)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: (x − 2)(x² + 2x + 4) – Wzór a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) dla a = x, b = 2 daje (x − 2)(x² + 2x + 4).
Wzór na sumę sześcianów to
- Aa³ + b³ = (a + b)(a² − b²)
- Ba³ + b³ = (a + b)³
- Ca³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
- Da³ + b³ = (a + b)(a² + ab + b²)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) – Środkowy wyraz w drugim nawiasie ma znak minus, a wynik rozmnożenia daje a³ + b³.
Rozwinięcie (x + 1)³ to
- Ax³ + x² + x + 1
- Bx³ + 1
- Cx³ + 3x + 1
- Dx³ + 3x² + 3x + 1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: x³ + 3x² + 3x + 1 – (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ dla a = x i b = 1.
Rozwiązaniami równania x³ + 2x² − x − 2 = 0 są
- A2, −1 i 1
- B−2 i 1
- Ctylko −2
- D−2, −1 i 1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: −2, −1 i 1 – Po grupowaniu mamy (x + 2)(x − 1)(x + 1) = 0.
Ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie x³ − 27 = 0?
- Ażadnego
- Bdwa
- Ctrzy
- Djedno
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: jedno – x³ − 27 = (x − 3)(x² + 3x + 9), a drugi czynnik ma Δ = 9 − 36 < 0. Zostaje tylko x = 3.
Rozkład wielomianu 8x³ + 27 to
- A(2x + 3)³
- B(2x + 3)(4x² − 6x + 9)
- C(8x + 27)(x² + 1)
- D(2x + 3)(4x² + 6x + 9)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: (2x + 3)(4x² − 6x + 9) – Wzór na sumę sześcianów dla a = 2x i b = 3: (a + b)(a² − ab + b²).
Rozkład wielomianu x³ − 3x² − 4x + 12 to
- A(x + 3)(x − 2)(x + 2)
- B(x − 3)(x − 2)(x + 2)
- C(x − 3)(x² + 4)
- D(x − 3)(x − 4)(x + 1)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: (x − 3)(x − 2)(x + 2) – x²(x − 3) − 4(x − 3) = (x − 3)(x² − 4) = (x − 3)(x − 2)(x + 2).
Czy trójmian x² + x + 1 można rozłożyć na rzeczywiste czynniki liniowe?
- Atak, bo ma miejsce zerowe x = 1
- Bnie, bo Δ = −3 < 0
- Ctak, na (x + 1)²
- Dtak, na (x + 1)(x − 1)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: nie, bo Δ = −3 < 0 – Δ = 1 − 4 = −3, więc miejsc zerowych rzeczywistych nie ma.
Cały dział „Wielomiany”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.