1Symbol Newtona
- (n po k) czytamy „n po k” (w podręcznikach pisze się n nad k). Wzór: (n po k) = n! przez k!(n − k)!, gdzie n, k to liczby całkowite, 0 ≤ k ≤ n, a n! = 1 · 2 · … · n (przy tym 0! = 1).
- Znaczenie: liczba k-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego.
- Przykład: (5 po 2) = 5! przez 2! · 3! = 5 · 4 przez 2 = 10.
- Własności: (n po 0) = (n po n) = 1, (n po 1) = n, (n po k) = (n po n − k), (n po k) + (n po k + 1) = (n + 1 po k + 1).
2Trójkąt Pascala
- W wierszu n stoją liczby (n po 0), (n po 1), …, (n po n). Każda liczba to suma dwóch liczb nad nią.
- Suma liczb w wierszu n to 2ⁿ, np. 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2⁴.
Suma liczb w wierszu n = 5 trójkąta Pascala (1 5 10 10 5 1) wynosi
Suma wiersza n to 2ⁿ, więc 2⁵ = 32.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Wzór dwumianowy Newtona
- (a + b)ⁿ = Σ (n po k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ, suma dla k = 0, 1, …, n. Tu a, b to dowolne liczby rzeczywiste, a n liczba naturalna. Współczynniki bierzesz z wiersza n trójkąta Pascala.
- Dane: (x − 2)³, czyli a = x, b = −2, n = 3. Współczynniki z wiersza 3: 1, 3, 3, 1.
- Obliczenia: x³ + 3x² · (−2) + 3x · (−2)² + (−2)³.
- Odpowiedź: x³ − 6x² + 12x − 8.
4Podzielność aⁿ − bⁿ
- aⁿ − bⁿ = (a − b)(aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻²b + … + bⁿ⁻¹). Wniosek: dla liczb całkowitych a, b liczba aⁿ − bⁿ dzieli się przez a − b.
- Przykład: 7ⁿ − 1 dzieli się przez 7 − 1 = 6 dla każdego n.
- Dla nieparzystego n jest też aⁿ + bⁿ = (a + b)(aⁿ⁻¹ − aⁿ⁻²b + … + bⁿ⁻¹), np. a⁵ + b⁵ dzieli się przez a + b.
Współczynniki rozwinięcia (a + b)ⁿ to wiersz n trójkąta Pascala (wiersze numerujemy od n = 0).
Pomijanie znaków w (a − b)ⁿ. Wyrazy z nieparzystą potęgą b mają minus.
Liczba 7ⁿ − 1 jest dla każdego n naturalnego podzielna przez
aⁿ − bⁿ dzieli się przez a − b, a tutaj a = 7, b = 1.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
✎Ściąga: Symbol Newtona, trójkąt Pascala i wzór dwumianowy
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Współczynniki rozwinięcia (a + b)ⁿ to wiersz n trójkąta Pascala (wiersze numerujemy od n = 0).
- (n po k) czytamy „n po k” (w podręcznikach pisze się n nad k). Wzór: (n po k) = n! przez k!(n − k)!, gdzie n, k to liczby całkowite, 0 ≤ k ≤ n, a n! = 1 · 2 · … · n (przy tym 0! = 1).
- (a + b)ⁿ = Σ (n po k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ, suma dla k = 0, 1, …, n. Tu a, b to dowolne liczby rzeczywiste, a n liczba naturalna. Współczynniki bierzesz z wiersza n trójkąta Pascala.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Wartość symbolu Newtona (5 po 2) wynosi
- A10
- B25
- C5
- D20
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 10 – (5 po 2) = 5! przez 2! · 3! = 120 przez 12 = 10.
Wartość (6 po 3) wynosi
- A120
- B20
- C18
- D6
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 20 – (6 po 3) = 6 · 5 · 4 przez 3 · 2 · 1 = 20.
Wiersz n = 4 trójkąta Pascala to
- A1 4 6 4 1
- B1 3 3 1
- C1 4 4 1
- D1 5 10 10 5 1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 1 4 6 4 1 – Wiersze zaczynają się od n = 0: 1; 1 1; 1 2 1; 1 3 3 1; 1 4 6 4 1.
Współczynnik przy a³b² w rozwinięciu (a + b)⁵ wynosi
- A20
- B10
- C5
- D2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 10 – To (5 po 2) = 10, czyli liczba z wiersza 5 trójkąta Pascala.
Współczynnik przy x w rozwinięciu (x − 2)³ wynosi
- A12
- B−6
- C−12
- D6
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 12 – Wyraz z x to 3 · x · (−2)² = 12x.
Suma liczb w wierszu n = 5 trójkąta Pascala (1 5 10 10 5 1) wynosi
- A10
- B16
- C32
- D25
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 32 – Suma wiersza n to 2ⁿ, więc 2⁵ = 32.
Liczba 7ⁿ − 1 jest dla każdego n naturalnego podzielna przez
- A7
- B5
- C8
- D6
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 6 – aⁿ − bⁿ dzieli się przez a − b, a tutaj a = 7, b = 1.
Liczba (n po 1) jest równa
- A1
- Bn!
- Cn − 1
- Dn
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: n – Jest n sposobów wyboru jednego elementu z n.
Cały dział „Wielomiany”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.