1Co to jest wielomian
- Jednomian ma postać axⁿ, np. 5x³. Wielomian jednej zmiennej to suma takich składników: W(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀, gdzie aₙ ≠ 0. Liczby aₙ, …, a₀ to współczynniki.
- Stopień to największy wykładnik przy x. Wyraz wolny a₀ to wynik dla x = 0, czyli W(0).
- Przykład: W(x) = 3x⁴ − x + 2 ma stopień 4 i wyraz wolny 2.
- Wartość wielomianu – przykład. Dane: W(x) = 2x³ − x + 5, liczymy W(2).
- Obliczenia: za x wstawiamy 2: W(2) = 2 · 2³ − 2 + 5 = 16 − 2 + 5.
- Odpowiedź: W(2) = 19.
- Wielomian wielu zmiennych, np. 2x²y − 3xy + y². Jego stopień to największa suma wykładników w jednomianie, tu 3 (z 2x²y).
2Działania
- Dodawanie i odejmowanie: redukujesz wyrazy podobne. (x² + 3x − 1) + (2x² − x + 4) = 3x² + 2x + 3.
- Przy odejmowaniu zmieniasz znaki w całym drugim nawiasie: (3x² − x) − (x² − 4x + 2) = 3x² − x − x² + 4x − 2 = 2x² + 3x − 2.
- Mnożenie: każdy wyraz przez każdy. Stopień iloczynu to suma stopni. (x + 1)(x² − 2x + 3) = x³ − 2x² + 3x + x² − 2x + 3 = x³ − x² + x + 3.
Stopień iloczynu wielomianów stopnia 2 i 3 wynosi
Stopnie się dodają.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Wzory skróconego mnożenia
(a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b²; a² − b² = (a − b)(a + b). Litery a i b to liczby albo całe wyrażenia.
- (2x − 3)(2x + 3) = (2x)² − 3² = 4x² − 9, a (x + 2)² = x² + 4x + 4.
(a + b)² = a² + b²
Brakuje 2ab. Drugi błąd to zgubienie znaku przy odejmowaniu nawiasu: minus przed nawiasem zmienia znak każdego jego składnika.
✎Ściąga: Wielomiany – pojęcie, działania i wzory skróconego mnożenia
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- (a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b²; a² − b² = (a − b)(a + b). Litery a i b to liczby albo całe wyrażenia.
- Jednomian ma postać axⁿ, np. 5x³. Wielomian jednej zmiennej to suma takich składników: W(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀, gdzie aₙ ≠ 0. Liczby aₙ, …, a₀ to współczynniki.
- Stopień to największy wykładnik przy x. Wyraz wolny a₀ to wynik dla x = 0, czyli W(0).
- Wartość wielomianu – przykład. Dane: W(x) = 2x³ − x + 5, liczymy W(2).
- Dodawanie i odejmowanie: redukujesz wyrazy podobne. (x² + 3x − 1) + (2x² − x + 4) = 3x² + 2x + 3.
- Mnożenie: każdy wyraz przez każdy. Stopień iloczynu to suma stopni. (x + 1)(x² − 2x + 3) = x³ − 2x² + 3x + x² − 2x + 3 = x³ − x² + x + 3.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Stopień wielomianu W(x) = 3x⁴ − x + 2 wynosi
- A4
- B2
- C7
- D3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 4 – Stopień to największy wykładnik przy x.
Wyraz wolny wielomianu W(x) = 2x³ − x + 5 wynosi
- A5
- B0
- C2
- D−1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 5 – Wyraz wolny to W(0) = 5.
Wartość W(2) dla W(x) = 2x³ − x + 5 wynosi
- A21
- B13
- C19
- D15
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 19 – 2 · 8 − 2 + 5 = 19.
Wielomian (x² + 3x − 1) + (2x² − x + 4) po redukcji to
- A3x² + 2x + 3
- B3x² + 2x − 5
- C2x⁴ + 3
- D3x² + 4x + 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 3x² + 2x + 3 – Dodajemy współczynniki przy tych samych potęgach.
Różnica (3x² − x) − (x² − 4x + 2) jest równa
- A2x² + 3x − 2
- B2x² − 5x − 2
- C2x² − 5x + 2
- D2x² + 3x + 2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 2x² + 3x − 2 – Minus zmienia znaki: −x² + 4x − 2.
Iloczyn (x + 1)(x² − 2x + 3) jest równy
- Ax³ + x² + 3
- Bx³ − x² + 3x + 3
- Cx³ − 2x² + 3
- Dx³ − x² + x + 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: x³ − x² + x + 3 – x³ − 2x² + 3x + x² − 2x + 3 = x³ − x² + x + 3.
Stopień iloczynu wielomianów stopnia 2 i 3 wynosi
- A3
- B5
- C6
- D2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 5 – Stopnie się dodają.
Wyrażenie (2x − 3)(2x + 3) jest równe
- A2x² − 9
- B4x² − 6x − 9
- C4x² + 9
- D4x² − 9
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 4x² − 9 – Różnica kwadratów: (2x)² − 3².
Cały dział „Wielomiany”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.