1Równania
- Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem. Dlatego równanie najpierw rozkładamy: wyłączamy czynnik albo grupujemy wyrazy.
- Przykład: x³ + 2x² − x − 2 = x²(x + 2) − (x + 2) = (x + 2)(x − 1)(x + 1) = 0, więc x ∈ {−2, −1, 1}.
- Gdy rozkładu nie widać, szukamy pierwiastka całkowitego wśród dzielników wyrazu wolnego i dzielimy wielomian przez (x − a).
2Krotność pierwiastka
- Pierwiastek jest k-krotny, gdy czynnik (x − a) występuje w potędze k. W (x − 1)²(x + 2) pierwiastek 1 jest dwukrotny, a −2 jednokrotny.
- Krotność nieparzysta: wykres przecina oś OX. Krotność parzysta: wykres tylko dotyka osi i się od niej odbija.
Wykres wielomianu w pierwiastku parzystej krotności
Pierwiastek parzystej krotności nie zmienia znaku wielomianu, więc wykres tylko dotyka osi.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Nierówności metodą wężyka
- Krok 1: rozłóż W(x) na czynniki. Krok 2: zaznacz pierwiastki na osi liczbowej.
- Krok 3: rysuj wężyka od prawej strony, nad osią dla aₙ > 0 (aₙ to współczynnik przy najwyższej potędze) albo pod osią dla aₙ < 0. Przy pierwiastkach nieparzystej krotności przechodź na drugą stronę osi, przy parzystej odbij się.
- Krok 4: odczytaj przedziały zgodnie ze znakiem nierówności.
- Przykład 1. Dane: (x + 2)(x − 1)(x − 3) > 0.
- Pierwiastki: −2, 1, 3 (każdy jednokrotny), współczynnik przy x³ równy 1 > 0.
- Wężyk od prawej: nad osią, pod, nad, pod.
- Odpowiedź: x ∈ (−2, 1) ∪ (3, +∞).
- Przykład 2: (x − 1)(x + 2)²(x − 3) ≤ 0. Pierwiastek −2 jest podwójny, więc tam wykres się odbija. Odpowiedź: x ∈ ⟨1, 3⟩ ∪ {−2}.
- Przykład 3: x²(x − 4) < 0. Pierwiastek 0 jest podwójny. Odpowiedź: x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, 4).
4Zastosowanie
- Pudełko z kwadratowej kartki o boku 12 cm: wycinamy w rogach kwadraty o boku x. Objętość V(x) = x(12 − 2x)², a dziedzina to 0 < x < 6.
Przy nierówności nieostrej pierwiastek podwójny, w którym wykres tylko dotyka osi, należy do rozwiązania, nawet gdy leży osobno.
Pominięcie izolowanego punktu, np. {−2} w przykładzie 2, albo odwrotnie – wpisanie do ostrej nierówności punktu, w którym wielomian jest zerem.
Dziedzina objętości V(x) = x(12 − 2x)² w zadaniu o pudełku z kartki o boku 12 cm to
Wycinamy kwadraty z dwóch końców boku, więc 2x < 12, czyli x < 6.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
✎Ściąga: Równania i nierówności wielomianowe
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Przy nierówności nieostrej pierwiastek podwójny, w którym wykres tylko dotyka osi, należy do rozwiązania, nawet gdy leży osobno.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Rozwiązaniem nierówności (x + 2)(x − 1)(x − 3) > 0 jest
- A(−∞, −2) ∪ (1, 3)
- B(1, 3)
- C(−2, 3)
- D(−2, 1) ∪ (3, +∞)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: (−2, 1) ∪ (3, +∞) – Od prawej strony wężyk jest nad osią dla x > 3, pod dla (1, 3), nad dla (−2, 1) i pod dla x < −2.
Rozwiązaniem nierówności x(x − 2)(x + 3) ≤ 0 jest
- A⟨0, 2⟩
- B⟨−3, 2⟩
- C⟨−3, 0⟩ ∪ ⟨2, +∞)
- D(−∞, −3⟩ ∪ ⟨0, 2⟩
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: (−∞, −3⟩ ∪ ⟨0, 2⟩ – Pod osią lub na niej wężyk jest dla x ≤ −3 oraz dla 0 ≤ x ≤ 2.
Rozwiązaniem nierówności x²(x − 4) < 0 jest
- A(4, +∞)
- B(−∞, 0) ∪ (0, 4)
- C(0, 4)
- D(−∞, 4)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: (−∞, 0) ∪ (0, 4) – Dla x < 4 czynnik x − 4 jest ujemny, a x² jest dodatnie z wyjątkiem x = 0, gdzie wielomian jest zerem.
Wykres wielomianu w pierwiastku parzystej krotności
- Aprzecina oś OX
- Bodbija się od osi OX
- Cjest prostą
- Dma maksimum na osi OY
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: odbija się od osi OX – Pierwiastek parzystej krotności nie zmienia znaku wielomianu, więc wykres tylko dotyka osi.
Ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie x³ + 2x² − x − 2 = 0?
- A2
- B3
- C1
- D0
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 3 – Po rozkładzie (x + 2)(x − 1)(x + 1) = 0 są trzy różne pierwiastki.
Rozwiązaniem nierówności (x − 1)²(x + 2) ≥ 0 jest
- A(−∞, −2⟩ ∪ {1}
- B⟨−2, 1) ∪ (1, +∞)
- C(−2, +∞)
- D⟨−2, +∞)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: ⟨−2, +∞) – Wielomian jest nieujemny dla x ≥ −2, a punkt x = 1 też spełnia nierówność, bo daje zero.
Rozwiązaniem nierówności (x − 1)(x + 2)²(x − 3) ≤ 0 jest
- A(−∞, −2⟩ ∪ ⟨1, 3⟩
- B⟨−2, 1⟩ ∪ ⟨3, +∞)
- C⟨1, 3⟩
- D⟨1, 3⟩ ∪ {−2}
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: ⟨1, 3⟩ ∪ {−2} – Pod osią jest przedział (1, 3), a pierwiastek podwójny −2 daje zero, więc też spełnia nierówność.
Dziedzina objętości V(x) = x(12 − 2x)² w zadaniu o pudełku z kartki o boku 12 cm to
- A(0, 6)
- B(0, 12)
- C(0, 24)
- D(6, 12)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: (0, 6) – Wycinamy kwadraty z dwóch końców boku, więc 2x < 12, czyli x < 6.
Cały dział „Wielomiany”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.