ogarniam.edu.pl
Klasa
Zacznij naukę →Zacznij →
Matematyka · powtórka działu · kl. 3

Trygonometria i geometria analityczna – powtórka do sprawdzianu

ogarniam.edu.pl · Matematyka · klasa 3 LOściąga z działu · próbny test: ogarniam.edu.pl/lo/3/matematyka/powtorka/trygonometria-i-geometria-analityczna/

Sprawdzian albo kartkówka z działu „Trygonometria i geometria analityczna”? Przeczytaj ściągę, rozwiąż próbny test (9 pytań z odpowiedziami), a potem sprawdź się w teście z wynikiem i oceną.

Test z działu · 10 pytańPróbny sprawdzian na tej stronie ↓

Tematy w dziale

✎Ściąga z działu

Trygonometria kątów 0°–180°, pole trójkąta i twierdzenie cosinusów

  • sin(180° − α) = sin α oraz cos(180° − α) = −⁠cos α. Zawsze sin2α + cos2α = 1 i tg α = sin α przez cos α (α ≠ 90°).
  • P = 1 przez 2 · a · b · sin γ
  • c2 = a2 + b2 − 2ab · cos γ

Miara łukowa i funkcje trygonometryczne (rozszerzenie)

  • α[rad] = α[°] · π przez 180°, długość łuku l = α · r
  • sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
  • Krok po kroku. Dane: sin 2x = sin x, x ∈ ⟨0, 2π⟩.

Twierdzenie sinusów: dowód i kilka konfiguracji (rozszerzenie)

  • Krok po kroku. Dane: a = 10, b = 14, α = 30°.

Prosta i okrąg w układzie współrzędnych

  • |AB| = pierwiastek z (xB − xA)2 + (yB − yA)2
  • Okrąg o środku S(a, b) i promieniu r (r > 0): (x − a)2 + (y − b)2 = r2.
  • Równanie kierunkowe: y = ax + b (a – współczynnik kierunkowy, b – miejsce przecięcia z osią OY). Równanie ogólne: Ax + By + C = 0 (A, B nie są jednocześnie zerami).

Prosta i okrąg: punkty wspólne i styczna (rozszerzenie)

  • Styczna do okręgu w punkcie P jest prostopadła do promienia SP (S – środek okręgu).
  • Krok po kroku. Dane: okrąg x2 + y2 = 25 (środek S(0, 0)), punkt P(3, 4) na okręgu.

Wektory i dowody analityczne (rozszerzenie)

  • Dla u = [u₁, u₂] i v = [v₁, v₂]: u + v = [u₁ + v₁, u₂ + v₂] oraz k · u = [k · u₁, k · u₂]. Liczba k mnoży długość |k| razy, a przy k < 0 zmienia zwrot.
  • Wektor AB to odcinek skierowany od A do B. Dla A(xA, yA) i B(xB, yB) jego współrzędne to AB = [xB − xA, yB − yA]. Zawsze odejmujesz „koniec minus początek”.
  • Dowód krok po kroku (przykład liczbowy to za mało): przekątne każdego równoległoboku dzielą się na połowy.

Twierdzenie sinusów i promień okręgu opisanego

  • a przez sin α = b przez sin β = c przez sin γ = 2R
  • P = abc przez 4R, P = p · r
  • Krok po kroku. Dane: a = 10, α = 30°, β = 45°. Szukamy b i R.

?Próbny sprawdzian

Pytania z każdego tematu działu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź z wyjaśnieniem.

  1. Wartość sin 150° jest równa

    1. A−⁠pierwiastek z 3 przez 2
    2. Bpierwiastek z 3 przez 2
    3. C1 przez 2
    4. D−⁠1 przez 2
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 1 przez 2 – sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 1 przez 2.

  2. Wartość cos 120° jest równa

    1. A−⁠1 przez 2
    2. B−⁠pierwiastek z 3 przez 2
    3. Cpierwiastek z 3 przez 2
    4. D1 przez 2
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: −⁠1 przez 2 – cos 120° = −⁠cos 60° = −⁠1 przez 2.

  3. Pole trójkąta o bokach 6 i 4 i kącie 30° między nimi jest równe

    1. A12
    2. B6
    3. C6pierwiastek z 3
    4. D24
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 6 – P = 1 przez 2 · 6 · 4 · sin 30° = 12 · 1 przez 2 = 6.

  4. Odległość punktów A(1, 3) i B(4, 7) wynosi

    1. A5
    2. Bpierwiastek z 7
    3. C25
    4. D7
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 5 – |AB| = pierwiastek z 32 + 42 = 5.

  5. Środkiem okręgu (x − 2)2 + (y + 1)2 = 9 jest punkt

    1. A(−⁠2, 1)
    2. B(2, −⁠1)
    3. C(2, 1)
    4. D(−⁠2, −⁠1)
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: (2, −⁠1) – Postać (x − a)2 + (y − b)2 = r2 daje środek (a, b); tu a = 2, b = −⁠1.

  6. Prosta równoległa do y = 3x − 1 i przechodząca przez punkt (0, 5) ma równanie

    1. Ay = 3x − 1
    2. By = −⁠3x + 5
    3. Cy = 1 przez 3x + 5
    4. Dy = 3x + 5
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: y = 3x + 5 – Równoległe proste mają ten sam współczynnik kierunkowy 3; wyraz wolny to 5.

  7. W trójkącie a = 10, α = 30°, β = 45°. Bok b ma długość

    1. A10
    2. B10pierwiastek z 2
    3. C20
    4. D5pierwiastek z 2
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 10pierwiastek z 2 – b = 10 · sin 45° przez sin 30° = 10 · pierwiastek z 2 przez 2 przez 1 przez 2 = 10pierwiastek z 2.

  8. Promień okręgu opisanego na trójkącie, w którym a = 10 i α = 30°, jest równy

    1. A10pierwiastek z 2
    2. B5
    3. C10
    4. D20
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 10 – 2R = a przez sin α = 10 przez 1 przez 2 = 20, więc R = 10.

  9. Trójkąt prostokątny ma przeciwprostokątną 6. Promień okręgu opisanego wynosi

    1. A2
    2. B6
    3. C3
    4. D12
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 3 – 2R = 6 przez sin 90° = 6, więc R = 3.

Sprawdzian już blisko? Zrób test z całego działu

10 losowych pytań z tematów działu, wynik w procentach i ocena od 1 do 6. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Test z działu · 10 pytańWszystkie tematy: Matematyka