ogarniam.edu.pl
Klasa
Zacznij naukę →Zacznij →

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Trygonometria i geometria analitycznaklasa 3 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/3/matematyka/wektory-i-dowody-analityczne/

Matematyka · Trygonometria i geometria analityczna · kl. 3 · zakres rozszerzony

Wektory i dowody analityczne

Wektor to strzałka z kierunkiem i długością, a we współrzędnych jest po prostu parą liczb. Dzięki temu własności figur można udowadniać rachunkiem.

ok. 3 min czytania9 fiszek8 pytań w quizie🔊 Posłuchaj notatki

1Wektor i jego współrzędne

  • Wektor AB to odcinek skierowany od A do B. Dla A(xA, yA) i B(xB, yB) jego współrzędne to AB = [xB − xA, yB − yA]. Zawsze odejmujesz „koniec minus początek”.
  • Długość wektora u = [u₁, u₂] to |u| = pierwiastek z u₁² + u₂².
  • A(1, 2), B(5, 3): AB = [4, 1], |AB| = pierwiastek z 16 + 1 = pierwiastek z 17. Wektor [3, 4] ma długość 5.

2Działania

Zapamiętaj

Dla u = [u₁, u₂] i v = [v₁, v₂]: u + v = [u₁ + v₁, u₂ + v₂] oraz k · u = [k · u₁, k · u₂]. Liczba k mnoży długość |k| razy, a przy k < 0 zmienia zwrot.

  • [4, 1] + [−⁠1, 3] = [3, 4], a 2 · [3, −⁠1] = [6, −⁠2]. Rysunek: reguła trójkąta lub równoległoboku.
  • A(−⁠1, 2), AB = [3, −⁠4]: B = (−⁠1 + 3, 2 − 4) = (2, −⁠2).
  • Wektory u i v są równoległe, gdy jeden jest wielokrotnością drugiego: [2, 3] ∥ [4, 6], bo [4, 6] = 2 · [2, 3]. Równoważnie u₁v₂ − u₂v₁ = 0. Dla [1, 2] i [2, 5] mamy 1 · 5 − 2 · 2 = 1 ≠ 0, więc nie są równoległe.
Sprawdź, czy rozumiesz

Długość wektora AB dla A(1, 2), B(5, 3) wynosi

3Dowód przez współrzędne

  • Czworokąt ABCD jest równoległobokiem, gdy AB = DC (równe współrzędne), a punkty nie leżą na jednej prostej.
  • A(0, 0), B(4, 1), C(5, 4), D(1, 3): AB = [4, 1] = DC, więc ABCD jest równoległobokiem.
xy0−1123456−112345ABCDAB = [4, 1]DC = [4, 1]
Wektory AB i DC mają te same współrzędne, więc ABCD jest równoległobokiem.
  • Dowód krok po kroku (przykład liczbowy to za mało): przekątne każdego równoległoboku dzielą się na połowy.
  • Krok 1: układ dobieramy wygodnie: A(0, 0), B(a, 0), D(b, c), C(a + b, c) (a > 0, c ≠ 0) – wtedy AB = DC = [a, 0], więc to dowolny równoległobok.
  • Krok 2: środek AC to (a + b przez 2, c przez 2), środek BD to (a + b przez 2, c przez 2).
  • Krok 3: to ten sam punkt dla dowolnych a, b, c, więc przekątne dzielą się na połowy.
Uwaga na błąd

„Dowód” na jednym przykładzie liczbowym albo AB liczone jako początek minus koniec.

✎Ściąga: Wektory i dowody analityczne

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

  • Dla u = [u₁, u₂] i v = [v₁, v₂]: u + v = [u₁ + v₁, u₂ + v₂] oraz k · u = [k · u₁, k · u₂]. Liczba k mnoży długość |k| razy, a przy k < 0 zmienia zwrot.
  • Wektor AB to odcinek skierowany od A do B. Dla A(xA, yA) i B(xB, yB) jego współrzędne to AB = [xB − xA, yB − yA]. Zawsze odejmujesz „koniec minus początek”.
  • Dowód krok po kroku (przykład liczbowy to za mało): przekątne każdego równoległoboku dzielą się na połowy.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

  1. Wektor AB dla A(1, 2) i B(5, 3) ma współrzędne

    1. A[−⁠4, −⁠1]
    2. B[4, 1]
    3. C[1, 4]
    4. D[6, 5]
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: [4, 1] – Koniec minus początek: [5 − 1, 3 − 2].

  2. Długość wektora [3, 4] wynosi

    1. Apierwiastek z 7
    2. B25
    3. C7
    4. D5
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: 5 – pierwiastek z 9 + 16 = 5.

  3. Długość wektora AB dla A(1, 2), B(5, 3) wynosi

    1. A17
    2. B5
    3. Cpierwiastek z 17
    4. Dpierwiastek z 5
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: pierwiastek z 17 – AB = [4, 1], |AB| = pierwiastek z 16 + 1.

  4. Suma [4, 1] + [−⁠1, 3] wynosi

    1. A[3, −⁠2]
    2. B[−⁠4, 3]
    3. C[5, 4]
    4. D[3, 4]
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: [3, 4] – Dodajemy współrzędne odpowiadające sobie.

  5. Wektor 2 · [3, −⁠1] wynosi

    1. A[6, −⁠2]
    2. B[6, −⁠1]
    3. C[3, −⁠2]
    4. D[5, 1]
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: [6, −⁠2] – Obie współrzędne mnożymy przez 2.

  6. Jeśli A(−⁠1, 2) i AB = [3, −⁠4], to punkt B ma współrzędne

    1. A(2, −⁠2)
    2. B(−⁠4, 6)
    3. C(2, 6)
    4. D(4, −⁠6)
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: (2, −⁠2) – B = A + AB = (−⁠1 + 3, 2 − 4).

  7. Wektory [2, 3] i [4, 6] są

    1. Arówne
    2. Brównoległe
    3. Cprzeciwne
    4. Dprostopadłe
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: równoległe – [4, 6] = 2 · [2, 3].

  8. Które punkty tworzą równoległobok ABCD?

    1. AA(0, 0), B(4, 1), C(5, 4), D(1, 3)
    2. BA(0, 0), B(4, 1), C(4, 4), D(1, 3)
    3. CA(0, 0), B(4, 1), C(5, 5), D(1, 3)
    4. DA(0, 0), B(4, 1), C(5, 4), D(2, 3)
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: A(0, 0), B(4, 1), C(5, 4), D(1, 3) – Tylko w pierwszym AB = DC = [4, 1].

Cały dział „Trygonometria i geometria analityczna”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytańFiszki · 9🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 3

Wyrażenia wymierne: dziedzina, skracanie, mnożenie i dzielenieOdwrotna proporcjonalność i funkcja f(x) = a/xDodawanie wyrażeń wymiernych i nierówności wymierneRównania wymierneCiąg: wzór ogólny, rekurencja i monotonicznośćCiąg arytmetyczny i suma jego wyrazówCiąg geometryczny i suma jego wyrazówProcent składanyGranica ciąguSzereg geometrycznyPodobieństwo figur i twierdzenie Talesa w zadaniachKąty w przestrzeniGraniastosłupy i ostrosłupy: objętość i poleWalec, stożek, kula i bryły podobnePrzekroje brył i twierdzenie o trzech prostopadłychTwierdzenie odwrotne do twierdzenia TalesaTrygonometria kątów 0°–180°, pole trójkąta i twierdzenie cosinusówMiara łukowa i funkcje trygonometryczneTwierdzenie sinusów: dowód i kilka konfiguracjiProsta i okrąg w układzie współrzędnychProsta i okrąg: punkty wspólne i stycznaTwierdzenie sinusów i promień okręgu opisanegoŚrednia, mediana i dominantaDowodzenie zależności i kontrola wyniku