1Dowód
- Na trójkącie ABC opisz okrąg o środku O i promieniu R. Niech BD będzie średnicą.
- Kąty wpisane BAC i BDC oparte na tym samym łuku BC są równe: oba mają miarę α.
- Kąt BCD jest prosty, bo opiera się na średnicy. W trójkącie prostokątnym BCD: sin α = a przez 2R, czyli a przez sin α = 2R. Tak samo dla pozostałych boków.
- Gdy α jest rozwarty, punkt D leży po drugiej stronie, a kąt BDC ma 180° − α. Sinus jest ten sam, więc wynik się nie zmienia.
Dlaczego w dowodzie twierdzenia sinusów trójkąt BCD jest prostokątny?
Kąt BCD jest kątem wpisanym opartym na średnicy BD, więc ma 90°.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
2Dane: bok, bok i kąt naprzeciw jednego z nich
- Niech dane będą a, b i α (naprzeciw a). Szukany jest kąt β: sin β = b · sin α przez a.
- Krok po kroku. Dane: a = 10, b = 14, α = 30°.
- Wzór: z twierdzenia sinusów sin β = b · sin α przez a.
- Obliczenia: sin β = 14 · 1 przez 2 przez 10 = 0,7, więc β ≈ 44,4° lub β ≈ 135,6°.
- Sprawdzenie: 30° + 44,4° < 180° i 30° + 135,6° < 180°. Odpowiedź: są dwa trójkąty.
- Tabela dotyczy ostrego kąta α. Gdy α ≥ 90°, trójkąt istnieje tylko dla a > b (i jest jeden).
| Warunek (α ostry) | Liczba trójkątów |
|---|---|
| a ≥ b | 1 (β musi być ostry) |
| b · sin α < a < b | 2 |
| a = b · sin α | 1 (trójkąt prostokątny, β = 90°) |
| a < b · sin α | 0 |
- Ten sam wynik daje twierdzenie cosinusów jako równanie kwadratowe względem c: a = 5, b = 8, α = 30°: 25 = 64 + c2 − 8pierwiastek z 3c, więc c2 − 8pierwiastek z 3c + 39 = 0, Δ = 36, c = 4pierwiastek z 3 ± 3. Obie wartości są dodatnie, więc są dwa trójkąty.
Przyjęcie, że sin β = 0,8 daje tylko kąt ostry. W przedziale od 0° do 180° dwa kąty mają ten sam sinus, więc sprawdź oba.
✎Ściąga: Twierdzenie sinusów: dowód i kilka konfiguracji
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Krok po kroku. Dane: a = 10, b = 14, α = 30°.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Trójkąt ma a = 10, b = 14, α = 30°. Ile takich trójkątów istnieje?
- Anieskończenie wiele
- Bdwa
- Cżaden
- Djeden
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: dwa – b · sin α = 7 < a = 10 < b = 14, więc sin β = 0,7 daje kąt ostry i rozwarty, i oba pasują.
Dla a = 10, b = 14, α = 30° wartość sin β jest równa
- A1,4
- B5 przez 7
- C0,35
- D0,7
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 0,7 – sin β = b · sin α przez a = 14 · 0,5 przez 10 = 0,7.
Trójkąt ma a = 5, b = 8, α = 30°. Długość boku c to
- A3pierwiastek z 3 + 4
- Bpierwiastek z 39
- C4pierwiastek z 3
- D4pierwiastek z 3 + 3 lub 4pierwiastek z 3 − 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 4pierwiastek z 3 + 3 lub 4pierwiastek z 3 − 3 – Z twierdzenia cosinusów c2 − 8pierwiastek z 3c + 39 = 0, Δ = 36 i c = 8pierwiastek z 3 ± 6 przez 2 = 4pierwiastek z 3 ± 3.
Trójkąt ma a = 6, b = 4, α = 40°. Ile takich trójkątów istnieje?
- Ażaden
- Bdwa
- Ctrzy
- Djeden
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: jeden – Bok a jest dłuższy od b, więc kąt β jest mniejszy od α i musi być ostry – jest jedno rozwiązanie.
Trójkąt ma a = 3, b = 8, α = 30°. Ile takich trójkątów istnieje?
- Anieskończenie wiele
- Bżaden
- Cjeden
- Ddwa
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: żaden – b · sin α = 4 > a = 3, więc sin β = 4 przez 3 > 1, czyli trójkąta nie ma.
Trójkąt ma a = 4, b = 8, α = 30°. Taki trójkąt
- Ajest ostrokątny
- Bjest prostokątny (β = 90°)
- Cma dwa kształty
- Dnie istnieje
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: jest prostokątny (β = 90°) – sin β = 8 · 0,5 przez 4 = 1, więc β = 90°; to jedyne rozwiązanie.
Dlaczego w dowodzie twierdzenia sinusów trójkąt BCD jest prostokątny?
- Abo kąt α ma 90°
- Bbo trójkąt ABC jest równoramienny
- Cbo BC jest równoległe do AD
- DBD jest średnicą, a kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: BD jest średnicą, a kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty – Kąt BCD jest kątem wpisanym opartym na średnicy BD, więc ma 90°.
Dlaczego w dowodzie kąty BAC i BDC są równe?
- ASą kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku BC
- BSą kątami środkowymi
- CSą kątami wierzchołkowymi
- DOba są kątami prostymi
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: Są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku BC – Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają równą miarę.
Cały dział „Trygonometria i geometria analityczna”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.