ogarniam.edu.pl
Klasa
Zacznij naukę →Zacznij →

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Trygonometria i geometria analitycznaklasa 3 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/3/matematyka/trygonometria-katow-0180-pole-trojkata-i-twierdzenie-cosinusow/

Matematyka · Trygonometria i geometria analityczna · kl. 3

Trygonometria kątów 0°–180°, pole trójkąta i twierdzenie cosinusów

Sinus i cosinus kątów rozwartych, pole trójkąta z sinusem i twierdzenie cosinusów – do liczenia boków i do rozpoznawania, jaki to trójkąt.

ok. 3 min czytania8 fiszek8 pytań w quizie🔊 Posłuchaj notatki

1Kąty od 0° do 180°

  • Dla kąta α punkt na okręgu jednostkowym ma współrzędne P(cos α, sin α). Kąt 180° − α daje punkt odbity względem osi pionowej.
αβP(cos α, sin α)P′(−cos α, sin α)cos α−cos αsin α1−1β = 180° − α
Okrąg jednostkowy dla kątów 0°–180°: sin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −⁠cos α.
Zapamiętaj

sin(180° − α) = sin α oraz cos(180° − α) = −⁠cos α. Zawsze sin2α + cos2α = 1 i tg α = sin α przez cos α (α ≠ 90°).

  • sin 150° = 1 przez 2, cos 120° = −⁠1 przez 2, sin 135° = pierwiastek z 2 przez 2.
  • Gdy sin α = 3 przez 5 i α jest rozwarty: cos2α = 1 − 9 przez 25 = 16 przez 25, a dla rozwartego cosinus jest ujemny, więc cos α = −⁠4 przez 5.

2Pole trójkąta

Zapamiętaj

P = 1 przez 2 · a · b · sin γ

  • a, b to dwa boki, γ to kąt między nimi; pole w jednostkach kwadratowych.
  • Dane: a = 6, b = 4, γ = 30°. Obliczenia: P = 1 przez 2 · 6 · 4 · 1 przez 2 = 6.
Sprawdź, czy rozumiesz

Pole trójkąta o bokach 6 i 4 i kącie 30° między nimi jest równe

3Twierdzenie cosinusów

Zapamiętaj

c2 = a2 + b2 − 2ab · cos γ

  • c to bok naprzeciw kąta γ, a i b to pozostałe boki.
  • Krok po kroku. Dane: a = 3, b = 5, kąt między nimi γ = 60°. Szukamy boku c.
  • Wzór: c2 = a2 + b2 − 2ab · cos γ, a cos 60° = 1 przez 2.
  • Obliczenia: c2 = 9 + 25 − 2 · 3 · 5 · 1 przez 2 = 34 − 15 = 19.
  • Odpowiedź: c = pierwiastek z 19 ≈ 4,36.
  • Dla γ = 90° mamy cos γ = 0 i dostajesz twierdzenie Pitagorasa.

4Jaki to trójkąt

  • Niech c będzie najdłuższym bokiem. c2 < a2 + b2 – trójkąt ostrokątny, c2 = a2 + b2 – prostokątny, c2 > a2 + b2 – rozwartokątny.
  • Boki 4, 5, 7: 49 > 16 + 25 = 41, więc rozwartokątny.
Uwaga na błąd

Pominięty minus w twierdzeniu cosinusów albo wstawiony zły kąt. Kąt musi leżeć naprzeciw boku c, między bokami a i b.

Sprawdź, czy rozumiesz

W trójkącie a = 3, b = 5, a kąt między nimi ma 60°. Długość trzeciego boku wynosi

✎Ściąga: Trygonometria kątów 0°–180°, pole trójkąta i twierdzenie cosinusów

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

  • sin(180° − α) = sin α oraz cos(180° − α) = −⁠cos α. Zawsze sin2α + cos2α = 1 i tg α = sin α przez cos α (α ≠ 90°).
  • P = 1 przez 2 · a · b · sin γ
  • c2 = a2 + b2 − 2ab · cos γ
  • Krok po kroku. Dane: a = 3, b = 5, kąt między nimi γ = 60°. Szukamy boku c.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

  1. Wartość sin 150° jest równa

    1. A−⁠pierwiastek z 3 przez 2
    2. Bpierwiastek z 3 przez 2
    3. C1 przez 2
    4. D−⁠1 przez 2
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 1 przez 2 – sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 1 przez 2.

  2. Wartość cos 120° jest równa

    1. A−⁠1 przez 2
    2. B−⁠pierwiastek z 3 przez 2
    3. Cpierwiastek z 3 przez 2
    4. D1 przez 2
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: −⁠1 przez 2 – cos 120° = −⁠cos 60° = −⁠1 przez 2.

  3. Pole trójkąta o bokach 6 i 4 i kącie 30° między nimi jest równe

    1. A12
    2. B6
    3. C6pierwiastek z 3
    4. D24
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 6 – P = 1 przez 2 · 6 · 4 · sin 30° = 12 · 1 przez 2 = 6.

  4. W trójkącie a = 3, b = 5, a kąt między nimi ma 60°. Długość trzeciego boku wynosi

    1. A7
    2. Bpierwiastek z 34
    3. Cpierwiastek z 19
    4. D2
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: pierwiastek z 19 – c2 = 9 + 25 − 2 · 3 · 5 · 1 przez 2 = 19.

  5. Trójkąt o bokach 4, 5, 7 jest

    1. Anie istnieje
    2. Bostrokątny
    3. Crozwartokątny
    4. Dprostokątny
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: rozwartokątny – 72 = 49 > 42 + 52 = 41, a trójkąt istnieje, bo 4 + 5 > 7.

  6. Trójkąt o bokach 6, 8, 9 jest

    1. Aostrokątny
    2. Brozwartokątny
    3. Crównoramienny
    4. Dprostokątny
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: ostrokątny – 92 = 81 < 62 + 82 = 100, więc największy kąt jest ostry.

  7. Kąt α jest rozwarty i sin α = 3 przez 5. Wtedy cos α jest równy

    1. A−⁠4 przez 5
    2. B5 przez 4
    3. C−⁠3 przez 5
    4. D4 przez 5
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: −⁠4 przez 5 – cos2α = 1 − 9 przez 25 = 16 przez 25, a dla kąta rozwartego cosinus jest ujemny.

  8. Wartość sin 135° jest równa

    1. A1 przez 2
    2. Bpierwiastek z 2 przez 2
    3. C−⁠pierwiastek z 2 przez 2
    4. D1
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: pierwiastek z 2 przez 2 – sin 135° = sin(180° − 45°) = sin 45° = pierwiastek z 2 przez 2.

Cały dział „Trygonometria i geometria analityczna”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytańFiszki · 8🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 3

Wyrażenia wymierne: dziedzina, skracanie, mnożenie i dzielenieOdwrotna proporcjonalność i funkcja f(x) = a/xDodawanie wyrażeń wymiernych i nierówności wymierneRównania wymierneCiąg: wzór ogólny, rekurencja i monotonicznośćCiąg arytmetyczny i suma jego wyrazówCiąg geometryczny i suma jego wyrazówProcent składanyGranica ciąguSzereg geometrycznyPodobieństwo figur i twierdzenie Talesa w zadaniachKąty w przestrzeniGraniastosłupy i ostrosłupy: objętość i poleWalec, stożek, kula i bryły podobnePrzekroje brył i twierdzenie o trzech prostopadłychTwierdzenie odwrotne do twierdzenia TalesaMiara łukowa i funkcje trygonometryczneTwierdzenie sinusów: dowód i kilka konfiguracjiProsta i okrąg w układzie współrzędnychProsta i okrąg: punkty wspólne i stycznaWektory i dowody analityczneTwierdzenie sinusów i promień okręgu opisanegoŚrednia, mediana i dominantaDowodzenie zależności i kontrola wyniku