ogarniam.edu.pl
Klasa
Zacznij naukę →Zacznij →

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Trygonometria i geometria analitycznaklasa 3 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/3/matematyka/prosta-i-okrag-w-ukladzie-wspolrzednych/

Matematyka · Trygonometria i geometria analityczna · kl. 3

Prosta i okrąg w układzie współrzędnych

Równania prostej i okręgu, odległość punktów, proste równoległe i prostopadłe oraz obrazy figur w symetriach.

ok. 3 min czytania10 fiszek8 pytań w quizie🔊 Posłuchaj notatki

1Prosta

  • Równanie kierunkowe: y = ax + b (a – współczynnik kierunkowy, b – miejsce przecięcia z osią OY). Równanie ogólne: Ax + By + C = 0 (A, B nie są jednocześnie zerami).
  • Prosta pionowa nie ma postaci y = ax + b, ma równanie x = c.
  • Prosta przez A(xA, yA) i B(xB, yB): a = yB − yA przez xB − xA (gdy xA ≠ xB).
  • Krok po kroku. Dane: A(1, 2), B(3, 6). Szukamy równania prostej AB.
  • Współczynnik kierunkowy: a = 6 − 2 przez 3 − 1 = 4 przez 2 = 2.
  • Wstawiamy punkt A do y − yA = a(x − xA): y − 2 = 2(x − 1).
  • Odpowiedź: y = 2x (sprawdzenie dla B: 2 · 3 = 6).
  • Proste y = a1x + b1 i y = a2x + b2 są równoległe, gdy a1 = a2, i prostopadłe, gdy a1 · a2 = −⁠1.
  • Proste y = 2x i y = −⁠1 przez 2x + 5 są prostopadłe, bo 2 · (−⁠1 przez 2) = −⁠1.

2Odległość punktów i okrąg

Zapamiętaj

|AB| = pierwiastek z (xB − xA)2 + (yB − yA)2

  • Dane: A(1, 3), B(4, 7). Obliczenia: |AB| = pierwiastek z 9 + 16 = 5.
  • Środek odcinka AB: S = (xA + xB przez 2, yA + yB przez 2). Dla A(1, 3), B(4, 7): S = (2,5; 5).
Zapamiętaj

Okrąg o środku S(a, b) i promieniu r (r > 0): (x − a)2 + (y − b)2 = r2.

xy0−2−1123456−5−4−3−2−112345S(2, −1)S′(2, 1)r = 3
Okrąg (x − 2)² + (y + 1)² = 9 i jego obraz w symetrii względem osi OX.
  • (x − 2)2 + (y + 1)2 = 9: środek (2, −⁠1), promień 3 (9 to r2).
Sprawdź, czy rozumiesz

Prosta równoległa do y = 3x − 1 i przechodząca przez punkt (0, 5) ma równanie

3Symetrie

  • Względem osi OX: (x, y) → (x, −⁠y). Względem osi OY: (x, y) → (−⁠x, y). Względem początku układu: (x, y) → (−⁠x, −⁠y).
  • Obrazem okręgu jest okrąg o tym samym promieniu – przekształcasz tylko środek. Względem OX: (x − 2)2 + (y − 1)2 = 9.
Uwaga na błąd

Odwrotne znaki środka. (x + 1)2 + (y − 3)2 = 4 ma środek (−⁠1, 3), a nie (1, −⁠3).

✎Ściąga: Prosta i okrąg w układzie współrzędnych

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

  • |AB| = pierwiastek z (xB − xA)2 + (yB − yA)2
  • Okrąg o środku S(a, b) i promieniu r (r > 0): (x − a)2 + (y − b)2 = r2.
  • Równanie kierunkowe: y = ax + b (a – współczynnik kierunkowy, b – miejsce przecięcia z osią OY). Równanie ogólne: Ax + By + C = 0 (A, B nie są jednocześnie zerami).
  • Krok po kroku. Dane: A(1, 2), B(3, 6). Szukamy równania prostej AB.
  • Środek odcinka AB: S = (xA + xB przez 2, yA + yB przez 2). Dla A(1, 3), B(4, 7): S = (2,5; 5).

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

  1. Odległość punktów A(1, 3) i B(4, 7) wynosi

    1. A5
    2. Bpierwiastek z 7
    3. C25
    4. D7
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 5 – |AB| = pierwiastek z 32 + 42 = 5.

  2. Środkiem okręgu (x − 2)2 + (y + 1)2 = 9 jest punkt

    1. A(−⁠2, 1)
    2. B(2, −⁠1)
    3. C(2, 1)
    4. D(−⁠2, −⁠1)
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: (2, −⁠1) – Postać (x − a)2 + (y − b)2 = r2 daje środek (a, b); tu a = 2, b = −⁠1.

  3. Prosta równoległa do y = 3x − 1 i przechodząca przez punkt (0, 5) ma równanie

    1. Ay = 3x − 1
    2. By = −⁠3x + 5
    3. Cy = 1 przez 3x + 5
    4. Dy = 3x + 5
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: y = 3x + 5 – Równoległe proste mają ten sam współczynnik kierunkowy 3; wyraz wolny to 5.

  4. Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do y = 2x + 1 jest równy

    1. A2
    2. B−⁠1 przez 2
    3. C−⁠2
    4. D1 przez 2
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: −⁠1 przez 2 – Dla prostych prostopadłych a1 · a2 = −⁠1, więc a2 = −⁠1 przez 2.

  5. Obrazem punktu (3, −⁠2) w symetrii względem osi OX jest punkt

    1. A(2, 3)
    2. B(−⁠3, 2)
    3. C(3, 2)
    4. D(−⁠3, −⁠2)
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: (3, 2) – Symetria względem OX zmienia znak drugiej współrzędnej.

  6. Obrazem punktu (3, −⁠2) w symetrii względem początku układu jest punkt

    1. A(2, −⁠3)
    2. B(−⁠3, −⁠2)
    3. C(3, 2)
    4. D(−⁠3, 2)
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: (−⁠3, 2) – Symetria środkowa względem początku zmienia znaki obu współrzędnych.

  7. Równanie okręgu o środku (1, −⁠3) i promieniu 2 to

    1. A(x − 1)2 + (y + 3)2 = 4
    2. B(x − 1)2 + (y − 3)2 = 4
    3. C(x + 1)2 + (y − 3)2 = 4
    4. D(x − 1)2 + (y + 3)2 = 2
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: (x − 1)2 + (y + 3)2 = 4 – Wzór (x − a)2 + (y − b)2 = r2 z a = 1, b = −⁠3 i r2 = 4.

  8. Środkiem odcinka o końcach A(2, 5) i B(6, −⁠1) jest punkt

    1. A(4, 2)
    2. B(2, −⁠3)
    3. C(8, 4)
    4. D(4, 3)
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: (4, 2) – Środek odcinka to średnie współrzędnych: (2 + 6 przez 2, 5 + (−⁠1) przez 2) = (4, 2).

Cały dział „Trygonometria i geometria analityczna”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytańFiszki · 10🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 3

Wyrażenia wymierne: dziedzina, skracanie, mnożenie i dzielenieOdwrotna proporcjonalność i funkcja f(x) = a/xDodawanie wyrażeń wymiernych i nierówności wymierneRównania wymierneCiąg: wzór ogólny, rekurencja i monotonicznośćCiąg arytmetyczny i suma jego wyrazówCiąg geometryczny i suma jego wyrazówProcent składanyGranica ciąguSzereg geometrycznyPodobieństwo figur i twierdzenie Talesa w zadaniachKąty w przestrzeniGraniastosłupy i ostrosłupy: objętość i poleWalec, stożek, kula i bryły podobnePrzekroje brył i twierdzenie o trzech prostopadłychTwierdzenie odwrotne do twierdzenia TalesaTrygonometria kątów 0°–180°, pole trójkąta i twierdzenie cosinusówMiara łukowa i funkcje trygonometryczneTwierdzenie sinusów: dowód i kilka konfiguracjiProsta i okrąg: punkty wspólne i stycznaWektory i dowody analityczneTwierdzenie sinusów i promień okręgu opisanegoŚrednia, mediana i dominantaDowodzenie zależności i kontrola wyniku