ogarniam.edu.pl
Klasa
Zacznij naukę →Zacznij →

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Trygonometria i geometria analitycznaklasa 3 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/3/matematyka/prosta-i-okrag-punkty-wspolne-i-styczna/

Matematyka · Trygonometria i geometria analityczna · kl. 3 · zakres rozszerzony

Prosta i okrąg: punkty wspólne i styczna

Zakres rozszerzony: ile punktów wspólnych mają prosta i okrąg albo dwa okręgi oraz jak wyznaczyć styczną i prostą prostopadłą.

ok. 3 min czytania9 fiszek8 pytań w quizie🔊 Posłuchaj notatki

1Prosta i okrąg

  • Podstaw równanie prostej do równania okręgu i policz Δ: Δ > 0 – dwa punkty (sieczna), Δ = 0 – jeden (styczna), Δ < 0 – brak.
drd < rdwa punkty (sieczna)drd = rjeden punkt (styczna)drd > rbrak punktów
Prosta względem okręgu: sieczna, styczna, rozłączna (d – odległość środka od prostej, r – promień).
  • Prosta y = 2x + 1 i okrąg x2 + y2 = 5: po podstawieniu 5x2 + 4x − 4 = 0, Δ = 96 > 0, więc dwa punkty.
  • Prosta y = x + 1 i okrąg x2 + y2 = 25: x2 + x − 12 = 0, więc x = 3 lub x = −⁠4. Punkty (3, 4) i (−⁠4, −⁠3).
  • Dodatek (karta CKE, poza podstawą): odległość punktu (x0, y0) od prostej Ax + By + C = 0 to d = |Ax0 + By0 + C| przez pierwiastek z A2 + B2. Prosta jest styczna, gdy d = r.

2Styczna i prosta prostopadła

Zapamiętaj

Styczna do okręgu w punkcie P jest prostopadła do promienia SP (S – środek okręgu).

  • Krok po kroku. Dane: okrąg x2 + y2 = 25 (środek S(0, 0)), punkt P(3, 4) na okręgu.
  • Promień SP ma współczynnik kierunkowy 4 − 0 przez 3 − 0 = 4 przez 3.
  • Styczna jest prostopadła do SP, więc ma współczynnik −⁠3 przez 4 (bo 4 przez 3 · (−⁠3 przez 4) = −⁠1).
  • Równanie: y − 4 = −⁠3 przez 4(x − 3). Odpowiedź: 3x + 4y − 25 = 0.
  • Prosta prostopadła do y = ax + b (a ≠ 0) ma współczynnik −⁠1 przez a. Przez (4, 1) prostopadle do y = 2x: y = −⁠1 przez 2x + 3.
Sprawdź, czy rozumiesz

Jeśli prosta ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny, to jest ona

3Dwa okręgi

  • d to odległość środków, r1, r2 to promienie. d > r1 + r2 – rozłączne; d = r1 + r2 – styczne zewnętrznie; |r1 − r2| < d < r1 + r2 – przecinają się w dwóch punktach; d = |r1 − r2| – styczne wewnętrznie; d < |r1 − r2| – jeden w drugim.
  • Punkty wspólne: odejmij równania stronami. x2 + y2 = 4 i (x − 2)2 + y2 = 4: 4x − 4 = 0, x = 1, y = ±pierwiastek z 3.
Uwaga na błąd

Porównywanie odległości d z r2 zamiast z r (po prawej stronie równania okręgu stoi r2).

✎Ściąga: Prosta i okrąg: punkty wspólne i styczna

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

  • Styczna do okręgu w punkcie P jest prostopadła do promienia SP (S – środek okręgu).
  • Krok po kroku. Dane: okrąg x2 + y2 = 25 (środek S(0, 0)), punkt P(3, 4) na okręgu.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

  1. Jeśli prosta ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny, to jest ona

    1. Aprostopadła do okręgu
    2. Bstyczna do okręgu
    3. Csieczną okręgu
    4. Drozłączna z okręgiem
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: styczna do okręgu – Jeden punkt wspólny to definicja stycznej (Δ = 0 po podstawieniu).

  2. Okręgi o promieniach 3 i 5, których środki są oddalone o 8, są

    1. Aprzecinające się w dwóch punktach
    2. Bstyczne wewnętrznie
    3. Crozłączne zewnętrznie
    4. Dstyczne zewnętrznie
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: styczne zewnętrznie – d = 8 = 3 + 5.

  3. Okręgi o promieniach 3 i 5, których środki są oddalone o 2, są

    1. Arozłączne zewnętrznie
    2. Bprzecinające się w dwóch punktach
    3. Cstyczne wewnętrznie
    4. Dstyczne zewnętrznie
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: styczne wewnętrznie – d = 2 = 5 − 3 = |r1 − r2|.

  4. Styczna do okręgu x2 + y2 = 25 w punkcie (3, 4) ma równanie

    1. A3x − 4y + 7 = 0
    2. B3x + 4y − 25 = 0
    3. C4x + 3y − 25 = 0
    4. Dx + y − 7 = 0
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 3x + 4y − 25 = 0 – Promień ma współczynnik 4 przez 3, styczna −⁠3 przez 4, a przechodzi przez (3, 4): 3x + 4y = 25.

  5. Punkty wspólne okręgu x2 + y2 = 25 i prostej y = x + 1 to

    1. Atylko (3, 4)
    2. B(4, 3) i (−⁠3, −⁠4)
    3. C(0, 1) i (5, 0)
    4. D(3, 4) i (−⁠4, −⁠3)
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: (3, 4) i (−⁠4, −⁠3) – Z x2 + (x + 1)2 = 25 wychodzi x2 + x − 12 = 0, więc x = 3 lub x = −⁠4, a y = x + 1 daje (3, 4) i (−⁠4, −⁠3).

  6. Prosta y = 2x + 1 i okrąg x2 + y2 = 5 mają

    1. Adwa punkty wspólne
    2. Bzero punktów wspólnych
    3. Cnieskończenie wiele punktów wspólnych
    4. Djeden punkt wspólny
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: dwa punkty wspólne – Po podstawieniu 5x2 + 4x − 4 = 0, Δ = 96 > 0, więc dwa rozwiązania.

  7. Prostą prostopadłą do y = 2x przechodzącą przez punkt (4, 1) opisuje równanie

    1. Ay = 1 przez 2x − 1
    2. By = −⁠1 przez 2x + 3
    3. Cy = 2x − 7
    4. Dy = −⁠2x + 9
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: y = −⁠1 przez 2x + 3 – Współczynnik kierunkowy to −⁠1 przez 2, więc y − 1 = −⁠1 przez 2(x − 4), czyli y = −⁠1 przez 2x + 3.

  8. Okręgi o promieniach 1 i 2, których środki są oddalone o 2,

    1. Asą rozłączne
    2. Bsą styczne wewnętrznie
    3. Cprzecinają się w dwóch punktach
    4. Dsą styczne zewnętrznie
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: przecinają się w dwóch punktach – |2 − 1| = 1 < 2 < 3 = 1 + 2.

Cały dział „Trygonometria i geometria analityczna”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytańFiszki · 9🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 3

Wyrażenia wymierne: dziedzina, skracanie, mnożenie i dzielenieOdwrotna proporcjonalność i funkcja f(x) = a/xDodawanie wyrażeń wymiernych i nierówności wymierneRównania wymierneCiąg: wzór ogólny, rekurencja i monotonicznośćCiąg arytmetyczny i suma jego wyrazówCiąg geometryczny i suma jego wyrazówProcent składanyGranica ciąguSzereg geometrycznyPodobieństwo figur i twierdzenie Talesa w zadaniachKąty w przestrzeniGraniastosłupy i ostrosłupy: objętość i poleWalec, stożek, kula i bryły podobnePrzekroje brył i twierdzenie o trzech prostopadłychTwierdzenie odwrotne do twierdzenia TalesaTrygonometria kątów 0°–180°, pole trójkąta i twierdzenie cosinusówMiara łukowa i funkcje trygonometryczneTwierdzenie sinusów: dowód i kilka konfiguracjiProsta i okrąg w układzie współrzędnychWektory i dowody analityczneTwierdzenie sinusów i promień okręgu opisanegoŚrednia, mediana i dominantaDowodzenie zależności i kontrola wyniku