ogarniam.edu.pl
Klasa
Zacznij naukę →Zacznij →

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Trygonometria i geometria analitycznaklasa 3 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/3/matematyka/miara-lukowa-i-funkcje-trygonometryczne/

Matematyka · Trygonometria i geometria analityczna · kl. 3 · zakres rozszerzony

Miara łukowa i funkcje trygonometryczne

Zakres rozszerzony: radiany, długość łuku, okresowość, wzory na sumę i kąt podwojony oraz proste równania – utrwalenie tego, co masz z klasy II.

ok. 3 min czytania9 fiszek8 pytań w quizie🔊 Posłuchaj notatki

1Radiany

Zapamiętaj

α[rad] = α[°] · π przez 180°, długość łuku l = α · r

  • α to kąt środkowy w radianach, r to promień [cm], l to długość łuku [cm]. Pełny obrót to 2π, a π rad = 180°.
  • 30° = π przez 6, 45° = π przez 4, 60° = π przez 3, 90° = π przez 2, 135° = 3π przez 4.
0 = 2ππ/6 (30°)π/4 (45°)π/3 (60°)π/2 (90°)π (180°)3π/2 (270°)α = π/3
Okrąg jednostkowy z kątami w radianach i stopniach.
  • Dane: r = 6 cm, α = π przez 3. Obliczenia: l = π przez 3 · 6 = 2π cm ≈ 6,28 cm.

2Okresowość i redukcja

  • sin i cos mają okres 2π, a tg – okres π.
  • sin(π − x) = sin x, cos(π − x) = −⁠cos x, sin(x + π) = −⁠sin x, sin(π przez 2 − x) = cos x.
Sprawdź, czy rozumiesz

Łuk okręgu o promieniu 6 cm wyznacza kąt środkowy π przez 3. Długość łuku to

3Wzory na sumę i kąt podwojony

Zapamiętaj

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β

  • sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos2α − sin2α = 1 − 2 sin2α.
  • sin 75° = sin(45° + 30°) = pierwiastek z 2 przez 2 · pierwiastek z 3 przez 2 + pierwiastek z 2 przez 2 · 1 przez 2 = pierwiastek z 6 + pierwiastek z 2 przez 4.

4Równania

  • sin x = 1 przez 2 w ⟨0, 2π⟩: x = π przez 6 lub x = 5π przez 6.
  • Krok po kroku. Dane: sin 2x = sin x, x ∈ ⟨0, 2π⟩.
  • Wzór na kąt podwojony: 2 sin x cos x − sin x = 0, czyli sin x(2 cos x − 1) = 0.
  • Pierwszy czynnik: sin x = 0, więc x = 0, π lub 2π.
  • Drugi czynnik: cos x = 1 przez 2, więc x = π przez 3 lub x = 5π przez 3.
  • Odpowiedź: x ∈ {0, π przez 3, π, 5π przez 3, 2π} – pięć rozwiązań.
Uwaga na błąd

Stopnie z radianami pomieszane na kalkulatorze albo jedno rozwiązanie sin x = a zamiast dwóch w ⟨0, 2π⟩.

Sprawdź, czy rozumiesz

Ile rozwiązań ma równanie sin 2x = sin x w przedziale ⟨0, 2π⟩?

✎Ściąga: Miara łukowa i funkcje trygonometryczne

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

  • α[rad] = α[°] · π przez 180°, długość łuku l = α · r
  • sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
  • Krok po kroku. Dane: sin 2x = sin x, x ∈ ⟨0, 2π⟩.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

  1. Kąt 60° wyrażony w radianach to

    1. Aπ przez 6
    2. B2π przez 3
    3. Cπ przez 2
    4. Dπ przez 3
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: π przez 3 – 60° = 60 przez 180π = π przez 3.

  2. Kąt 3π przez 4 rad ma w stopniach miarę

    1. A135°
    2. B120°
    3. C150°
    4. D90°
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 135° – 3 przez 4 · 180° = 135°.

  3. Łuk okręgu o promieniu 6 cm wyznacza kąt środkowy π przez 3. Długość łuku to

    1. A6π cm
    2. B2π cm
    3. Cπ przez 3 cm
    4. D12π cm
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 2π cm – l = α · r = π przez 3 · 6 = 2π.

  4. Najmniejszy okres funkcji tangens to

    1. A2π
    2. Bπ przez 2
    3. C4π
    4. Dπ
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: π – tg(x + π) = tg x.

  5. Wartość sin 75° jest równa

    1. A1 przez 2
    2. Bpierwiastek z 3 przez 2
    3. Cpierwiastek z 6 + pierwiastek z 2 przez 4
    4. Dpierwiastek z 6 − pierwiastek z 2 przez 4
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: pierwiastek z 6 + pierwiastek z 2 przez 4 – sin 75° = sin(45° + 30°) = pierwiastek z 2 przez 2 · pierwiastek z 3 przez 2 + pierwiastek z 2 przez 2 · 1 przez 2 = pierwiastek z 6 + pierwiastek z 2 przez 4.

  6. Dla ostrego kąta α, gdzie sin α = 3 przez 5, wartość sin 2α jest równa

    1. A24 przez 25
    2. B6 przez 5
    3. C7 przez 25
    4. D12 przez 25
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 24 przez 25 – cos α = 4 przez 5, więc sin 2α = 2 · 3 przez 5 · 4 przez 5 = 24 przez 25.

  7. Rozwiązaniami równania sin x = 1 przez 2 w przedziale ⟨0, 2π⟩ są

    1. Aπ przez 6 i 5π przez 6
    2. Bπ przez 6 i 7π przez 6
    3. Cπ przez 6 i 11π przez 6
    4. Dπ przez 3 i 2π przez 3
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: π przez 6 i 5π przez 6 – Sinus jest dodatni w I i II ćwiartce: x = π przez 6 oraz x = π − π przez 6 = 5π przez 6.

  8. Ile rozwiązań ma równanie sin 2x = sin x w przedziale ⟨0, 2π⟩?

    1. A2
    2. B4
    3. C5
    4. D3
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 5 – sin x(2 cos x − 1) = 0 daje x = 0, π, 2π oraz x = π przez 3, 5π przez 3, czyli pięć rozwiązań.

Cały dział „Trygonometria i geometria analityczna”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytańFiszki · 9🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 3

Wyrażenia wymierne: dziedzina, skracanie, mnożenie i dzielenieOdwrotna proporcjonalność i funkcja f(x) = a/xDodawanie wyrażeń wymiernych i nierówności wymierneRównania wymierneCiąg: wzór ogólny, rekurencja i monotonicznośćCiąg arytmetyczny i suma jego wyrazówCiąg geometryczny i suma jego wyrazówProcent składanyGranica ciąguSzereg geometrycznyPodobieństwo figur i twierdzenie Talesa w zadaniachKąty w przestrzeniGraniastosłupy i ostrosłupy: objętość i poleWalec, stożek, kula i bryły podobnePrzekroje brył i twierdzenie o trzech prostopadłychTwierdzenie odwrotne do twierdzenia TalesaTrygonometria kątów 0°–180°, pole trójkąta i twierdzenie cosinusówTwierdzenie sinusów: dowód i kilka konfiguracjiProsta i okrąg w układzie współrzędnychProsta i okrąg: punkty wspólne i stycznaWektory i dowody analityczneTwierdzenie sinusów i promień okręgu opisanegoŚrednia, mediana i dominantaDowodzenie zależności i kontrola wyniku