ogarniam.edu.pl
Klasa
Zacznij naukę →Zacznij →

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Trygonometria i geometria analitycznaklasa 3 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/3/matematyka/twierdzenie-sinusow-i-promien-okregu-opisanego/

Matematyka · Trygonometria i geometria analityczna · kl. 3

Twierdzenie sinusów i promień okręgu opisanego

Twierdzenie sinusów łączy boki z kątami i promieniem okręgu opisanego – kiedy je stosować zamiast twierdzenia cosinusów i jak policzyć pole trójkąta z promieniem.

ok. 3 min czytania9 fiszek8 pytań w quizie🔊 Posłuchaj notatki

1Twierdzenie sinusów

Zapamiętaj

a przez sin α = b przez sin β = c przez sin γ = 2R

  • a, b, c to boki, α, β, γ to kąty leżące naprzeciw tych boków, R to promień okręgu opisanego na trójkącie (w tych samych jednostkach co boki).
  • Krok po kroku. Dane: a = 10, α = 30°, β = 45°. Szukamy b i R.
  • Wzór: z a przez sin α = b przez sin β mamy b = a · sin β przez sin α.
  • Obliczenia: b = 10 · pierwiastek z 2 przez 2 przez 1 przez 2 = 10pierwiastek z 2, a 2R = 10 przez 1 przez 2 = 20.
  • Odpowiedź: b = 10pierwiastek z 2 ≈ 14,1, R = 10.
  • Trójkąt prostokątny: 2R = c przez sin 90° = c, czyli R to połowa przeciwprostokątnej.

2Którego twierdzenia użyć

DaneTwierdzenie
Trzy bokicosinusów
Dwa boki i kąt między nimicosinusów
Bok i dwa kąty (trzeci kąt = 180° − suma)sinusów
Dwa boki i kąt naprzeciw jednego z nichsinusów (uwaga na dwa kąty)
  • Naprzeciw większego kąta leży dłuższy bok.
  • Uwaga: z sin β = 0,7 wychodzi kąt ostry albo rozwarty. Sprawdź, czy trójkąt z kątem rozwartym spełnia sumę 180° – czasem są dwa trójkąty (szczegóły w temacie rozszerzonym).
Sprawdź, czy rozumiesz

Znamy długości trzech boków trójkąta. Którego twierdzenia użyjesz do wyznaczenia kąta?

3Pole z promieniem

Zapamiętaj

P = abc przez 4R, P = p · r

  • p to połowa obwodu, r to promień okręgu wpisanego.
  • Dane: trójkąt 3, 4, 5. R = 2,5 (połowa przeciwprostokątnej). P = 3 · 4 · 5 przez 4 · 2,5 = 60 przez 10 = 6. Z P = p · r: p = 6, więc r = 1.
  • Dodatek (poza wymaganiami, wzór z karty CKE): wzór Herona P = pierwiastek z p(p − a)(p − b)(p − c). Dla 3, 4, 5: pierwiastek z 6 · 3 · 2 · 1 = 6.
Uwaga na błąd

Wstawienie do twierdzenia sinusów niewłaściwej pary (bok i kąt, które nie leżą naprzeciw siebie).

✎Ściąga: Twierdzenie sinusów i promień okręgu opisanego

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

  • a przez sin α = b przez sin β = c przez sin γ = 2R
  • P = abc przez 4R, P = p · r
  • Krok po kroku. Dane: a = 10, α = 30°, β = 45°. Szukamy b i R.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

  1. W trójkącie a = 10, α = 30°, β = 45°. Bok b ma długość

    1. A10
    2. B10pierwiastek z 2
    3. C20
    4. D5pierwiastek z 2
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 10pierwiastek z 2 – b = 10 · sin 45° przez sin 30° = 10 · pierwiastek z 2 przez 2 przez 1 przez 2 = 10pierwiastek z 2.

  2. Promień okręgu opisanego na trójkącie, w którym a = 10 i α = 30°, jest równy

    1. A10pierwiastek z 2
    2. B5
    3. C10
    4. D20
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 10 – 2R = a przez sin α = 10 przez 1 przez 2 = 20, więc R = 10.

  3. Trójkąt prostokątny ma przeciwprostokątną 6. Promień okręgu opisanego wynosi

    1. A2
    2. B6
    3. C3
    4. D12
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 3 – 2R = 6 przez sin 90° = 6, więc R = 3.

  4. Znamy długości trzech boków trójkąta. Którego twierdzenia użyjesz do wyznaczenia kąta?

    1. APitagorasa
    2. Bsinusów
    3. CTalesa
    4. Dcosinusów
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: cosinusów – Przy trzech bokach nie ma żadnej pary „bok i kąt naprzeciw”, więc używamy twierdzenia cosinusów.

  5. Znamy jeden bok i dwa kąty trójkąta. Którego twierdzenia użyjesz do wyznaczenia pozostałych boków?

    1. Asinusów
    2. BTalesa
    3. CPitagorasa
    4. Dcosinusów
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: sinusów – Trzeci kąt wyznaczasz z sumy 180°, a boki z proporcji a przez sin α = b przez sin β.

  6. Najdłuższy bok trójkąta leży naprzeciw

    1. Anajmniejszego kąta
    2. Bnajwiększego kąta
    3. Ckąta ostrego
    4. Dkąta o miarze 60°
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: największego kąta – Większy kąt oznacza dłuższy bok naprzeciw (wynika to z twierdzenia sinusów).

  7. Trójkąt o bokach 3, 4, 5 ma promień okręgu opisanego 2,5. Jego pole ze wzoru P = abc przez 4R jest równe

    1. A12
    2. B30
    3. C6
    4. D3
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 6 – P = 3 · 4 · 5 przez 4 · 2,5 = 60 przez 10 = 6.

  8. Trójkąt o bokach 3, 4, 5 ma pole 6. Promień okręgu wpisanego (z P = p · r) jest równy

    1. A0,5
    2. B1
    3. C1,5
    4. D2
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 1 – p = 3 + 4 + 5 przez 2 = 6, więc r = P przez p = 6 przez 6 = 1.

Cały dział „Trygonometria i geometria analityczna”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytańFiszki · 9🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 3

Wyrażenia wymierne: dziedzina, skracanie, mnożenie i dzielenieOdwrotna proporcjonalność i funkcja f(x) = a/xDodawanie wyrażeń wymiernych i nierówności wymierneRównania wymierneCiąg: wzór ogólny, rekurencja i monotonicznośćCiąg arytmetyczny i suma jego wyrazówCiąg geometryczny i suma jego wyrazówProcent składanyGranica ciąguSzereg geometrycznyPodobieństwo figur i twierdzenie Talesa w zadaniachKąty w przestrzeniGraniastosłupy i ostrosłupy: objętość i poleWalec, stożek, kula i bryły podobnePrzekroje brył i twierdzenie o trzech prostopadłychTwierdzenie odwrotne do twierdzenia TalesaTrygonometria kątów 0°–180°, pole trójkąta i twierdzenie cosinusówMiara łukowa i funkcje trygonometryczneTwierdzenie sinusów: dowód i kilka konfiguracjiProsta i okrąg w układzie współrzędnychProsta i okrąg: punkty wspólne i stycznaWektory i dowody analityczneŚrednia, mediana i dominantaDowodzenie zależności i kontrola wyniku