Kąty wpisane oparte na tym samym łuku

są dwa razy większe od środkowego

Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży

wewnątrz trójkąta, ale nie na boku

Okręgi i koła – powtórka do sprawdzianu

ogarniam.edu.pl · Matematyka · klasa 2 LOściąga z działu · próbny test: ogarniam.edu.pl/lo/2/matematyka/powtorka/okregi-i-kola/

Sprawdzian albo kartkówka z działu „Okręgi i koła”? Przeczytaj ściągę, rozwiąż próbny test (12 pytań z odpowiedziami), a potem sprawdź się w teście z wynikiem i oceną.

✎Ściąga z działu

Okrąg, cięciwa, styczna – wzajemne położenie

Niech d będzie odległością środka okręgu od prostej. d > r: prosta jest rozłączna z okręgiem. d = r: styczna, jeden punkt wspólny. d < r: sieczna, dwa punkty wspólne.
Okrąg to zbiór punktów odległych od środka O o r (promień). Koło to okrąg razem z jego wnętrzem, czyli punkty w odległości nie większej niż r od środka.
Cięciwa łączy dwa punkty okręgu. Średnica to najdłuższa cięciwa – przechodzi przez środek i d = 2r.

Kąty w okręgu, długość łuku i pole wycinka

Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.
Kąt środkowy ma wierzchołek w środku okręgu. Kąt wpisany ma wierzchołek na okręgu, a jego ramiona zawierają cięciwy.

Okrąg wpisany i opisany na trójkącie, punkty szczególne

Trójkąt prostokątny (przyprostokątne a, b, przeciwprostokątna c): R = c przez 2, r = a + b − c przez 2.
Okrąg opisany przechodzi przez wszystkie wierzchołki. Jego środek to punkt przecięcia symetralnych boków.
Okrąg wpisany jest styczny do wszystkich boków. Jego środek to punkt przecięcia dwusiecznych, a promień r jest prostopadły do boku.

Czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu, twierdzenie odwrotne do Talesa (rozszerzenie)

Czworokąt wypukły można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar przeciwległych kątów są równe 180°.
W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy a + c = b + d, czyli sumy długości przeciwległych boków są równe.

Twierdzenie o dwusiecznej i o odcinkach w trójkącie prostokątnym

Jeśli CD jest dwusieczną kąta ACB, a D leży na boku AB, to |AD| przez |DB| = |AC| przez |BC|.
Jeśli CD jest wysokością opuszczoną na przeciwprostokątną AB, to |CD|² = |AD| · |DB|, |AC|² = |AB| · |AD|, |BC|² = |AB| · |DB|.

Wzajemne położenie dwóch okręgów (rozszerzenie)

Punkt styczności dwóch okręgów leży na prostej łączącej ich środki.

Dowody istnienia punktów szczególnych trójkąta (rozszerzenie)

Symetralne trzech boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie – środku okręgu opisanego.
Trzy środkowe przecinają się w jednym punkcie, który dzieli każdą w stosunku 2 : 1 od wierzchołka.
Symetralna odcinka to zbiór punktów jednakowo odległych od jego końców.

?Próbny sprawdzian

Pytania z każdego tematu działu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź z wyjaśnieniem.

Odległość środka okręgu o promieniu 5 od prostej wynosi 5. Prosta jest
1. Aśrednicą okręgu
2. Bstyczna do okręgu
3. Csieczna okręgu
4. Drozłączna z okręgiem
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: styczna do okręgu – Gdy d = r, prosta ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny.
W okręgu o promieniu 13 cięciwa leży w odległości 5 od środka. Jej długość to
1. A24
2. B18
3. C2pierwiastek z 194
4. D12
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 24 – Połowa cięciwy to pierwiastek z 169 − 25 = 12, więc cała cięciwa ma 24.
Styczna do okręgu w punkcie A jest do promienia OA
1. Arównoległa
2. Bzawsze dwa razy dłuższa
3. Cnachylona pod kątem 45°
4. Dprostopadła
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: prostopadła – Styczna jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności.
Kąt środkowy ma 80°. Kąt wpisany oparty na tym samym łuku ma
1. A40°
2. B160°
3. C20°
4. D80°
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 40° – Kąt wpisany to połowa kąta środkowego.
Kąt wpisany oparty na średnicy okręgu ma
1. A180°
2. B60°
3. C45°
4. D90°
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 90° – Kąt środkowy oparty na średnicy ma 180°, więc wpisany ma 90°.
Kąty wpisane oparte na tym samym łuku
1. Asą dwa razy większe od środkowego
2. Bsą równe
3. Cdają w sumie 180°
4. Dsą zawsze proste
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: są równe – Każdy z nich jest połową tego samego kąta środkowego.
Środek okręgu wpisanego w trójkąt leży w punkcie przecięcia
1. Adwusiecznych
2. Bwysokości
3. Csymetralnych boków
4. Dśrodkowych
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: dwusiecznych – Okrąg wpisany jest styczny do boków, więc jego środek jest równo oddalony od boków, czyli leży na dwusiecznych.
Środek okręgu opisanego na trójkącie leży w punkcie przecięcia
1. Adwusiecznych
2. Bsymetralnych boków
3. Cwysokości
4. Dśrodkowych
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: symetralnych boków – Jest równo oddalony od wierzchołków, czyli leży na symetralnych boków.
Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży
1. Aw środku przeciwprostokątnej
2. Bwewnątrz trójkąta, ale nie na boku
3. Cw wierzchołku kąta prostego
4. Dna zewnątrz trójkąta
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: w środku przeciwprostokątnej – Kąt prosty jest oparty na średnicy, więc przeciwprostokątna jest średnicą.
CD jest dwusieczną kąta C w trójkącie ABC, D leży na AB. Wtedy
1. A|AD| przez |DB| = |BC| przez |AC|
2. B|AD| przez |DB| = |AC| przez |BC|
3. C|CD| = |AB|
4. D|AD| = |DB| zawsze
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: |AD| przez |DB| = |AC| przez |BC| – Dwusieczna dzieli przeciwległy bok w stosunku sąsiednich boków.
|AC| = 6, |BC| = 4, |AB| = 10. Dwusieczna kąta C dzieli AB na odcinki
1. A5 i 5
2. B6 i 4
3. C3 i 7
4. D4 i 6
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 6 i 4 – Stosunek 6 : 4 przy sumie 10 daje 6 i 4, a dłuższy odcinek jest przy dłuższym boku AC.
W trójkącie prostokątnym wysokość CD na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki 4 i 9. Wysokość CD ma
1. A6
2. B36
3. C5
4. D13
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 6 – |CD|² = 4 · 9 = 36, więc |CD| = 6.

Sprawdzian już blisko? Zrób test z całego działu

10 losowych pytań z tematów działu, wynik w procentach i ocena od 1 do 6. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Test z działu · 10 pytań Wszystkie tematy: Matematyka