ogarniam.edu.pl
Klasa
Zacznij naukę →Zacznij →

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Okręgi i kołaklasa 2 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/2/matematyka/czworokaty-wpisane-w-okrag-i-opisane-na-okregu-twierdzenie-odwrotne-do/

Matematyka · Okręgi i koła · kl. 2 · zakres rozszerzony

Czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu, twierdzenie odwrotne do Talesa

Zakres rozszerzony: kiedy czworokąt ma okrąg opisany, kiedy wpisany – i jak to udowodnić – oraz twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa.

ok. 3 min czytania8 fiszek8 pytań w quizie🔊 Posłuchaj notatki

1Czworokąt wpisany w okrąg

αγABCDα + γ = 180°abcda + c = b + d
Z lewej: czworokąt wpisany (α + γ = 180°). Z prawej: czworokąt opisany (a + c = b + d).
Zapamiętaj

Czworokąt wypukły można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar przeciwległych kątów są równe 180°.

  • Dowód (⇒): kąt α oparty jest na łuku BCD, a kąt γ na łuku BAD. Razem te łuki dają cały okrąg, a kąty wpisane to połowy ich miar: α + γ = 1 przez 2 · 360° = 180°.
  • Przykład: ∠A = 80° ⇒ ∠C = 100°.
  • Zawsze można wpisać prostokąt, kwadrat i trapez równoramienny. Równoległoboku, który nie jest prostokątem, nie wpiszesz (przeciwległe kąty są równe, więc ich suma to 180° tylko przy 90°).

2Czworokąt opisany na okręgu

Zapamiętaj

W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy a + c = b + d, czyli sumy długości przeciwległych boków są równe.

  • Dowód (⇒): z każdego wierzchołka poprowadzone odcinki stycznych do okręgu są równe. Oznacz je x, y, z, t. Wtedy a = x + y, c = z + t, b = y + z, d = t + x, więc a + c = b + d.
  • Dane: czworokąt opisany na okręgu, boki kolejno 5, 6, 9, x. Wzór: a + c = b + d.
  • Obliczenia: 5 + 9 = 6 + x.
  • Odpowiedź: x = 8.
  • W każdy romb (i kwadrat) można wpisać okrąg. W prostokąt, który nie jest kwadratem – nie można (a + c = 2a, b + d = 2b).
Sprawdź, czy rozumiesz

Czworokąt wypukły można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy

3Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa

  • Jeśli punkty A, B leżą na jednym ramieniu kąta o wierzchołku O, a C, D na drugim, i |OA| przez |OB| = |OC| przez |OD|, to proste AC i BD są równoległe.
  • Przykład: |OA| = 4, |OB| = 6, |OC| = 6, |OD| = 9: 4 przez 6 = 6 przez 9, więc AC ∥ BD.
Uwaga na błąd

Warunek na sumy kątów stosujesz do czworokąta opisanego, a warunek na sumy boków do wpisanego. To dwie osobne cechy: kąty → okrąg opisany na czworokącie, boki → okrąg wpisany w czworokąt.

✎Ściąga: Czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu, twierdzenie odwrotne do Talesa

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

  • Czworokąt wypukły można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar przeciwległych kątów są równe 180°.
  • W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy a + c = b + d, czyli sumy długości przeciwległych boków są równe.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

  1. Czworokąt wypukły można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy

    1. Ama równe wszystkie kąty
    2. Bsumy przeciwległych kątów wynoszą 180°
    3. Csumy przeciwległych boków są równe
    4. Dma dwie pary boków równoległych
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: sumy przeciwległych kątów wynoszą 180° – To twierdzenie o czworokącie wpisanym w okrąg.

  2. W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy

    1. Aα + γ = 180°
    2. Bwszystkie boki są równe
    3. Ca + c = b + d
    4. Dprzekątne są równe
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: a + c = b + d – To warunek na sumy długości przeciwległych boków.

  3. W czworokącie wpisanym w okrąg kąt A ma 80°. Kąt C (przeciwległy) ma

    1. A100°
    2. B80°
    3. C280°
    4. D90°
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 100° – A + C = 180°, więc C = 100°.

  4. Czworokąt opisany na okręgu ma kolejne boki 5, 6, 9, x. Wtedy x wynosi

    1. A8
    2. B20
    3. C10
    4. D2
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 8 – 5 + 9 = 6 + x, więc x = 8.

  5. Który czworokąt można zawsze wpisać w okrąg?

    1. Aromb, który nie jest kwadratem
    2. Bprostokąt
    3. Crównoległobok
    4. Ddowolny trapez
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: prostokąt – W prostokącie przeciwległe kąty mają po 90°, więc suma to 180°.

  6. W który czworokąt można zawsze wpisać okrąg?

    1. Aprostokąt niebędący kwadratem
    2. Btrapez równoramienny
    3. Cromb
    4. Ddowolny równoległobok
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: romb – W rombie a + c = b + d, bo wszystkie boki są równe.

  7. W dowodzie warunku a + c = b + d wykorzystujesz fakt, że

    1. Aodcinki stycznych z jednego punktu są równe
    2. Bsuma kątów to 360°
    3. Cprzekątne dzielą się na połowy
    4. Dkąt wpisany to połowa środkowego
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: odcinki stycznych z jednego punktu są równe – Równe odcinki stycznych dają a = x + y, b = y + z itd.

  8. Jeśli |OA| przez |OB| = |OC| przez |OD| (A, B na jednym ramieniu, C, D na drugim), to

    1. AAC ∥ BD
    2. BO leży na okręgu opisanym
    3. CAC ⟂ BD
    4. DAC = BD
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: AC ∥ BD – To twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa.

Cały dział „Okręgi i koła”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytańFiszki · 8🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 2

Równania i nierówności kwadratoweWartość najmniejsza i największa funkcji kwadratowej, optymalizacjaWzory Viète'a i wyrażenia symetryczne pierwiastkówRównania i nierówności kwadratowe z parametremRównania dwukwadratowe i układy równań liniowo-kwadratowychWykres funkcji kwadratowej: parabola, wierzchołek i przesuwaniePostacie wzoru funkcji kwadratowej i wyznaczanie wzoruWłasności funkcji kwadratowej i odczytywanie z wykresuWartość bezwzględna w funkcji kwadratowejWielomiany – pojęcie, działania i wzory skróconego mnożeniaRozkład wielomianu na czynniki i równania w postaci iloczynowejDzielenie wielomianu przez dwumian, twierdzenie Bézouta i schemat HorneraRównania i nierówności wielomianoweSymbol Newtona, trójkąt Pascala i wzór dwumianowyWzory na sześciany i rozkład wielomianu: grupowanie, suma i różnica sześcianówFunkcja wymierna – hiperbola i asymptotyOdwrotna proporcjonalność w zadaniach: praca, ruch, zakupyFunkcja (ax + b)/(cx + d): wydzielanie całości, monotoniczność, złożenieZadania z równaniami wymiernymi: wspólna praca i ruchOkrąg, cięciwa, styczna – wzajemne położenieKąty w okręgu, długość łuku i pole wycinkaOkrąg wpisany i opisany na trójkącie, punkty szczególneTwierdzenie o dwusiecznej i o odcinkach w trójkącie prostokątnymWzajemne położenie dwóch okręgówDowody istnienia punktów szczególnych trójkątaTrygonometria w figurach płaskich – pola i długości odcinkówKąt skierowany i miara łukowaFunkcje trygonometryczne dowolnego kąta, ćwiartki i wzory redukcyjneWykresy funkcji trygonometrycznychWzory na sumę, różnicę i kąt podwojonyRównania trygonometryczneTwierdzenia sinusów i cosinusów – trójkąty dowolneAnaliza przypadków i dowód nie wprost – trójkąt niejednoznacznyDowodzenie w geometrii – jak zapisać uzasadnienieModelowanie matematyczne i zapis rozwiązania na maturze