ogarniam.edu.pl
Klasa
Zacznij naukę →Zacznij →

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Okręgi i kołaklasa 2 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/2/matematyka/okrag-cieciwa-styczna-wzajemne-polozenie/

Matematyka · Okręgi i koła · kl. 2

Okrąg, cięciwa, styczna – wzajemne położenie

Okrąg, cięciwa i prosta, która go dotyka albo przecina – oraz jeden trik z trójkątem prostokątnym, który rozwiązuje większość zadań z tego działu.

ok. 3 min czytania9 fiszek8 pytań w quizie🔊 Posłuchaj notatki

1Podstawowe pojęcia

  • Okrąg to zbiór punktów odległych od środka O o r (promień). Koło to okrąg razem z jego wnętrzem, czyli punkty w odległości nie większej niż r od środka.
  • Cięciwa łączy dwa punkty okręgu. Średnica to najdłuższa cięciwa – przechodzi przez środek i d = 2r.

2Prosta i okrąg

Odrozłącznad > rOdstycznad = rOdsiecznad < r
Trzy położenia prostej względem okręgu zależą od odległości d środka od prostej.
Zapamiętaj

Niech d będzie odległością środka okręgu od prostej. d > r: prosta jest rozłączna z okręgiem. d = r: styczna, jeden punkt wspólny. d < r: sieczna, dwa punkty wspólne.

  • Styczna jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności. To fakt, którego używasz najczęściej.
Sprawdź, czy rozumiesz

Prosta jest odległa o 4 od środka okręgu o promieniu 6. Ma z okręgiem

3Długość cięciwy

Ohrpołowa cięciwycięciwa: 2√(r² − h²)OABPrd|PA| = |PB|= √(d² − r²)styczna ⟂ promień
Z lewej: cięciwa i trójkąt prostokątny z promieniem. Z prawej: dwie styczne z jednego punktu.
  • Połowa cięciwy, odległość h od środka i promień r tworzą trójkąt prostokątny. Z Pitagorasa cała cięciwa ma długość 2pierwiastek z r² − h².
  • Dane: r = 5, h = 3.
  • Wzór: |AB| = 2pierwiastek z r² − h².
  • Obliczenia: 2pierwiastek z 25 − 9 = 2 · 4 = 8.
  • Odpowiedź: cięciwa ma długość 8.

4Odcinki stycznych

  • Z punktu P leżącego poza okręgiem poprowadzisz dwie styczne. Odcinki PA i PB do punktów styczności są równej długości. Liczysz je z Pitagorasa w trójkącie OAP, bo kąt przy A jest prosty: |PA| = pierwiastek z d² − r², gdzie d = |PO|.
  • Dane: d = 10, r = 6. Obliczenia: pierwiastek z 100 − 36 = 8. Odpowiedź: |PA| = |PB| = 8.
Uwaga na błąd

Do wzoru na cięciwę wstawiasz d albo r zamiast h (odległości środka od cięciwy). Pamiętaj też, że średnica to 2r, a nie r.

Sprawdź, czy rozumiesz

Dwie styczne poprowadzone z jednego punktu do okręgu

✎Ściąga: Okrąg, cięciwa, styczna – wzajemne położenie

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

  • Niech d będzie odległością środka okręgu od prostej. d > r: prosta jest rozłączna z okręgiem. d = r: styczna, jeden punkt wspólny. d < r: sieczna, dwa punkty wspólne.
  • Okrąg to zbiór punktów odległych od środka O o r (promień). Koło to okrąg razem z jego wnętrzem, czyli punkty w odległości nie większej niż r od środka.
  • Cięciwa łączy dwa punkty okręgu. Średnica to najdłuższa cięciwa – przechodzi przez środek i d = 2r.
  • Styczna jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności. To fakt, którego używasz najczęściej.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

  1. Odległość środka okręgu o promieniu 5 od prostej wynosi 5. Prosta jest

    1. Aśrednicą okręgu
    2. Bstyczna do okręgu
    3. Csieczna okręgu
    4. Drozłączna z okręgiem
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: styczna do okręgu – Gdy d = r, prosta ma z okręgiem dokładnie jeden punkt wspólny.

  2. W okręgu o promieniu 13 cięciwa leży w odległości 5 od środka. Jej długość to

    1. A24
    2. B18
    3. C2pierwiastek z 194
    4. D12
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 24 – Połowa cięciwy to pierwiastek z 169 − 25 = 12, więc cała cięciwa ma 24.

  3. Styczna do okręgu w punkcie A jest do promienia OA

    1. Arównoległa
    2. Bzawsze dwa razy dłuższa
    3. Cnachylona pod kątem 45°
    4. Dprostopadła
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: prostopadła – Styczna jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności.

  4. Z punktu P oddalonego o 10 od środka okręgu o promieniu 6 poprowadzono styczną. Odcinek od P do punktu styczności ma długość

    1. A4
    2. B8
    3. C16
    4. D2pierwiastek z 34
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 8 – Z Pitagorasa |PA| = pierwiastek z 100 − 36 = 8.

  5. Dwie styczne poprowadzone z jednego punktu do okręgu

    1. Asą zawsze równoległe
    2. Bmają różne długości odcinków
    3. Cmają równe odcinki do punktów styczności
    4. Dprzecinają się w środku okręgu
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: mają równe odcinki do punktów styczności – Odcinki stycznych z jednego punktu są równe.

  6. Cięciwa 16 w okręgu o promieniu 10 leży od środka w odległości

    1. A8
    2. B2
    3. C6
    4. D4
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 6 – h = pierwiastek z 100 − 64 = 6, bo połowa cięciwy to 8.

  7. Które zdanie o średnicy jest prawdziwe?

    1. AJest najdłuższą cięciwą okręgu
    2. BNie przechodzi przez środek
    3. CJest zawsze styczna do okręgu
    4. DJest równa promieniowi
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: Jest najdłuższą cięciwą okręgu – Średnica to cięciwa przechodząca przez środek, d = 2r.

  8. Prosta jest odległa o 4 od środka okręgu o promieniu 6. Ma z okręgiem

    1. Adwa punkty wspólne
    2. Btrzy punkty wspólne
    3. Cjeden punkt wspólny
    4. Dżadnego punktu wspólnego
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: dwa punkty wspólne – d = 4 < r = 6, więc prosta jest sieczną.

Cały dział „Okręgi i koła”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytańFiszki · 9🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 2

Równania i nierówności kwadratoweWartość najmniejsza i największa funkcji kwadratowej, optymalizacjaWzory Viète'a i wyrażenia symetryczne pierwiastkówRównania i nierówności kwadratowe z parametremRównania dwukwadratowe i układy równań liniowo-kwadratowychWykres funkcji kwadratowej: parabola, wierzchołek i przesuwaniePostacie wzoru funkcji kwadratowej i wyznaczanie wzoruWłasności funkcji kwadratowej i odczytywanie z wykresuWartość bezwzględna w funkcji kwadratowejWielomiany – pojęcie, działania i wzory skróconego mnożeniaRozkład wielomianu na czynniki i równania w postaci iloczynowejDzielenie wielomianu przez dwumian, twierdzenie Bézouta i schemat HorneraRównania i nierówności wielomianoweSymbol Newtona, trójkąt Pascala i wzór dwumianowyWzory na sześciany i rozkład wielomianu: grupowanie, suma i różnica sześcianówFunkcja wymierna – hiperbola i asymptotyOdwrotna proporcjonalność w zadaniach: praca, ruch, zakupyFunkcja (ax + b)/(cx + d): wydzielanie całości, monotoniczność, złożenieZadania z równaniami wymiernymi: wspólna praca i ruchKąty w okręgu, długość łuku i pole wycinkaOkrąg wpisany i opisany na trójkącie, punkty szczególneCzworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu, twierdzenie odwrotne do TalesaTwierdzenie o dwusiecznej i o odcinkach w trójkącie prostokątnymWzajemne położenie dwóch okręgówDowody istnienia punktów szczególnych trójkątaTrygonometria w figurach płaskich – pola i długości odcinkówKąt skierowany i miara łukowaFunkcje trygonometryczne dowolnego kąta, ćwiartki i wzory redukcyjneWykresy funkcji trygonometrycznychWzory na sumę, różnicę i kąt podwojonyRównania trygonometryczneTwierdzenia sinusów i cosinusów – trójkąty dowolneAnaliza przypadków i dowód nie wprost – trójkąt niejednoznacznyDowodzenie w geometrii – jak zapisać uzasadnienieModelowanie matematyczne i zapis rozwiązania na maturze