ogarniam.edu.pl
Klasa
Zacznij naukę →Zacznij →

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Okręgi i kołaklasa 2 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/2/matematyka/wzajemne-polozenie-dwoch-okregow/

Matematyka · Okręgi i koła · kl. 2 · zakres rozszerzony

Wzajemne położenie dwóch okręgów

Zakres rozszerzony: pięć położeń dwóch okręgów i warunki na odległość środków d i promienie r₁, r₂.

ok. 2 min czytania8 fiszek8 pytań w quizie🔊 Posłuchaj notatki

1Pięć przypadków

rozłączne zewn.d > r₁ + r₂styczne zewn.d = r₁ + r₂przecinające sięr₁ − r₂ < d < r₁ + r₂styczne wewn.d = r₁ − r₂rozłączne wewn.d < r₁ − r₂
Położenie zależy od d, r₁ i r₂ (przyjmij r₁ ≥ r₂).
  • Porównujesz odległość środków d z sumą r₁ + r₂ i różnicą r₁ − r₂ promieni.
PołożenieWarunekPunkty wspólne
rozłączne zewnętrznied > r₁ + r₂0
styczne zewnętrznied = r₁ + r₂1
przecinające sięr₁ − r₂ < d < r₁ + r₂2
styczne wewnętrznied = r₁ − r₂1
rozłączne wewnętrznied < r₁ − r₂0
Zapamiętaj

Punkt styczności dwóch okręgów leży na prostej łączącej ich środki.

Sprawdź, czy rozumiesz

Gdzie leży punkt styczności dwóch okręgów?

2Przykłady

  • Dane: r₁ = 5, r₂ = 3. Suma promieni to 8, różnica 2.
  • d = 8: styczne zewnętrznie. d = 6: przecinają się (2 < 6 < 8). d = 2: styczne wewnętrznie. d = 1: jeden okrąg leży wewnątrz drugiego. d = 10: rozłączne zewnętrznie.
  • Zadanie: okręgi o promieniach 6 i 2 są styczne. Jaka jest odległość środków? Są dwa przypadki: styczne zewnętrznie d = 6 + 2 = 8 albo wewnętrznie d = 6 − 2 = 4. Odpowiedź: 8 lub 4.
  • Gdy r₁ = r₂, różnica to 0: styczność wewnętrzna oznacza ten sam okrąg, więc dla równych promieni zostają trzy przypadki.
Uwaga na błąd

Bierzesz tylko styczność zewnętrzną i gubisz wewnętrzną (albo odwrotnie). W zadaniu „okręgi są styczne” sprawdź oba przypadki.

✎Ściąga: Wzajemne położenie dwóch okręgów

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

  • Punkt styczności dwóch okręgów leży na prostej łączącej ich środki.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

  1. Okręgi o promieniach 5 i 3 mają środki w odległości 8. Są

    1. Aprzecinające się
    2. Bstyczne zewnętrznie
    3. Cstyczne wewnętrznie
    4. Drozłączne wewnętrznie
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: styczne zewnętrznie – d = 5 + 3, więc dotykają się z zewnątrz.

  2. Okręgi o promieniach 5 i 3 mają środki w odległości 2. Są

    1. Arozłączne zewnętrznie
    2. Bprzecinające się
    3. Cstyczne zewnętrznie
    4. Dstyczne wewnętrznie
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: styczne wewnętrznie – d = 5 − 3 = 2.

  3. Okręgi o promieniach 5 i 3 mają środki w odległości 6. Są

    1. Astyczne wewnętrznie
    2. Bstyczne zewnętrznie
    3. Cprzecinające się
    4. Drozłączne zewnętrznie
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: przecinające się – 2 < 6 < 8, więc mają dwa punkty wspólne.

  4. Okręgi o promieniach 5 i 3, d = 1. Wtedy

    1. Asą styczne
    2. Bprzecinają się
    3. Csą rozłączne zewnętrznie
    4. Dmniejszy leży wewnątrz większego i nie mają punktów wspólnych
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: mniejszy leży wewnątrz większego i nie mają punktów wspólnych – d < r₁ − r₂ = 2.

  5. Okręgi o promieniach 6 i 2 są styczne. Odległość środków może wynosić

    1. A8 lub 4
    2. Btylko 8
    3. C12 lub 3
    4. Dtylko 4
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 8 lub 4 – Styczność zewnętrzna: 6 + 2 = 8, wewnętrzna: 6 − 2 = 4.

  6. Okręgi mają dwa punkty wspólne, gdy

    1. Ad < r₁ − r₂
    2. Bd > r₁ + r₂
    3. Cd = r₁ + r₂
    4. Dr₁ − r₂ < d < r₁ + r₂
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: r₁ − r₂ < d < r₁ + r₂ – To warunek przecinania się okręgów.

  7. Gdzie leży punkt styczności dwóch okręgów?

    1. AW połowie odcinka między środkami
    2. BNa prostej prostopadłej do prostej środków
    3. CZawsze w środku jednego z okręgów
    4. DNa prostej łączącej środki
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: Na prostej łączącej środki – Wspólna styczna jest prostopadła do promieni, więc środki i punkt styczności są współliniowe.

  8. Okręgi o promieniach 4 i 4, d = 4. Są

    1. Aprzecinające się
    2. Bstyczne zewnętrznie
    3. Cstyczne wewnętrznie
    4. Drozłączne wewnętrznie
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: przecinające się – r₁ − r₂ = 0 < 4 < 8, więc mają dwa punkty wspólne.

Cały dział „Okręgi i koła”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytańFiszki · 8🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 2

Równania i nierówności kwadratoweWartość najmniejsza i największa funkcji kwadratowej, optymalizacjaWzory Viète'a i wyrażenia symetryczne pierwiastkówRównania i nierówności kwadratowe z parametremRównania dwukwadratowe i układy równań liniowo-kwadratowychWykres funkcji kwadratowej: parabola, wierzchołek i przesuwaniePostacie wzoru funkcji kwadratowej i wyznaczanie wzoruWłasności funkcji kwadratowej i odczytywanie z wykresuWartość bezwzględna w funkcji kwadratowejWielomiany – pojęcie, działania i wzory skróconego mnożeniaRozkład wielomianu na czynniki i równania w postaci iloczynowejDzielenie wielomianu przez dwumian, twierdzenie Bézouta i schemat HorneraRównania i nierówności wielomianoweSymbol Newtona, trójkąt Pascala i wzór dwumianowyWzory na sześciany i rozkład wielomianu: grupowanie, suma i różnica sześcianówFunkcja wymierna – hiperbola i asymptotyOdwrotna proporcjonalność w zadaniach: praca, ruch, zakupyFunkcja (ax + b)/(cx + d): wydzielanie całości, monotoniczność, złożenieZadania z równaniami wymiernymi: wspólna praca i ruchOkrąg, cięciwa, styczna – wzajemne położenieKąty w okręgu, długość łuku i pole wycinkaOkrąg wpisany i opisany na trójkącie, punkty szczególneCzworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu, twierdzenie odwrotne do TalesaTwierdzenie o dwusiecznej i o odcinkach w trójkącie prostokątnymDowody istnienia punktów szczególnych trójkątaTrygonometria w figurach płaskich – pola i długości odcinkówKąt skierowany i miara łukowaFunkcje trygonometryczne dowolnego kąta, ćwiartki i wzory redukcyjneWykresy funkcji trygonometrycznychWzory na sumę, różnicę i kąt podwojonyRównania trygonometryczneTwierdzenia sinusów i cosinusów – trójkąty dowolneAnaliza przypadków i dowód nie wprost – trójkąt niejednoznacznyDowodzenie w geometrii – jak zapisać uzasadnienieModelowanie matematyczne i zapis rozwiązania na maturze