Dwusieczna kąta przy wierzchołku trójkąta równoramiennego (ramiona AC i BC)

dzieli podstawę w stosunku 2 : 1

Co daje porównanie pól trójkątów ACD i BCD w dowodzie o dwusiecznej?

Stosunek |AD| : |DB| równy |AC| : |BC|

Twierdzenie o dwusiecznej i o odcinkach w trójkącie prostokątnym

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Okręgi i kołaklasa 2 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/2/matematyka/twierdzenie-o-dwusiecznej-i-o-odcinkach-w-trojkacie-prostokatnym/

Dwa twierdzenia o odcinkach w trójkącie, ich dowody i podobieństwo, które się za nimi chowa.

1Twierdzenie o dwusiecznej

Dwusieczna CD dzieli bok AB w stosunku boków AC i BC.

Zapamiętaj

Jeśli CD jest dwusieczną kąta ACB, a D leży na boku AB, to |AD| przez |DB| = |AC| przez |BC|.

Dowód: trójkąty ACD i BCD mają wspólną wysokość z C, więc ich pola mają się jak podstawy |AD| : |DB|. Z drugiej strony pola to 1 przez 2|AC||CD| sin φ i 1 przez 2|BC||CD| sin φ (φ – połowa kąta C), czyli mają się jak |AC| : |BC|.
Dane: |AC| = 6, |BC| = 4, |AB| = 10. Wzór: |AD| przez |DB| = 6 przez 4, |AD| + |DB| = 10.
Obliczenia: |AD| = 10 · 6 przez 10 = 6, |DB| = 4. Odpowiedź: |AD| = 6, |DB| = 4.

2Odcinki w trójkącie prostokątnym

Wysokość CD opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na AD i DB.

Zapamiętaj

Jeśli CD jest wysokością opuszczoną na przeciwprostokątną AB, to |CD|² = |AD| · |DB|, |AC|² = |AB| · |AD|, |BC|² = |AB| · |DB|.

Dowód: trójkąty ADC, CDB i ACB są podobne (wspólne kąty ostre i kąt prosty). Z proporcji boków odpowiadających sobie wychodzą wszystkie trzy równości.
Dane: |AD| = 4, |DB| = 9. Obliczenia: |CD|² = 36, więc |CD| = 6; |AB| = 13, |AC|² = 13 · 4 = 52, |BC|² = 13 · 9 = 117. Sprawdzenie: 52 + 117 = 169 = 13².

Sprawdź, czy rozumiesz

Dowód twierdzenia o odcinkach w trójkącie prostokątnym opiera się na

3Talesa i podobieństwo

Przy figurach podobnych w skali k stosunek długości to k, a stosunek pól to k². Skala 3 daje pole 9 razy większe. Twierdzenie Talesa: proste równoległe tną ramiona kąta na proporcjonalne odcinki.

Uwaga na błąd

W twierdzeniu o dwusiecznej po jednej stronie proporcji są odcinki podstawy, po drugiej boki przy tych odcinkach. Zamiana boków w proporcji daje zły wynik.

✎Ściąga: Twierdzenie o dwusiecznej i o odcinkach w trójkącie prostokątnym

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

Jeśli CD jest dwusieczną kąta ACB, a D leży na boku AB, to |AD| przez |DB| = |AC| przez |BC|.
Jeśli CD jest wysokością opuszczoną na przeciwprostokątną AB, to |CD|² = |AD| · |DB|, |AC|² = |AB| · |AD|, |BC|² = |AB| · |DB|.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

CD jest dwusieczną kąta C w trójkącie ABC, D leży na AB. Wtedy
1. A|AD| przez |DB| = |BC| przez |AC|
2. B|AD| przez |DB| = |AC| przez |BC|
3. C|CD| = |AB|
4. D|AD| = |DB| zawsze
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: |AD| przez |DB| = |AC| przez |BC| – Dwusieczna dzieli przeciwległy bok w stosunku sąsiednich boków.
|AC| = 6, |BC| = 4, |AB| = 10. Dwusieczna kąta C dzieli AB na odcinki
1. A5 i 5
2. B6 i 4
3. C3 i 7
4. D4 i 6
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 6 i 4 – Stosunek 6 : 4 przy sumie 10 daje 6 i 4, a dłuższy odcinek jest przy dłuższym boku AC.
W trójkącie prostokątnym wysokość CD na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki 4 i 9. Wysokość CD ma
1. A6
2. B36
3. C5
4. D13
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 6 – |CD|² = 4 · 9 = 36, więc |CD| = 6.
W tym samym trójkącie (odcinki 4 i 9) kwadrat przyprostokątnej AC (przy odcinku 4) to
1. A52
2. B36
3. C169
4. D117
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 52 – |AC|² = |AB| · |AD| = 13 · 4 = 52.
Trójkąty podobne w skali 3 mają pola w stosunku
1. A9 : 1
2. B6 : 1
3. C27 : 1
4. D3 : 1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 9 : 1 – Pola mają się jak kwadrat skali.
Dowód twierdzenia o odcinkach w trójkącie prostokątnym opiera się na
1. Atwierdzeniu sinusów
2. Brówności trójkątów
3. Cokręgu opisanym
4. Dpodobieństwie trójkątów ADC, CDB i ACB
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: podobieństwie trójkątów ADC, CDB i ACB – Wspólne kąty ostre i kąt prosty dają podobieństwo kąt-kąt-kąt.
Dwusieczna kąta przy wierzchołku trójkąta równoramiennego (ramiona AC i BC)
1. Adzieli podstawę w stosunku 2 : 1
2. Bjest dłuższa od ramienia
3. Cdzieli podstawę AB na połowy
4. Djest równoległa do podstawy
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: dzieli podstawę AB na połowy – Skoro |AC| = |BC|, proporcja daje |AD| = |DB|.
Co daje porównanie pól trójkątów ACD i BCD w dowodzie o dwusiecznej?
1. A|AD| = |CD|
2. B|AC| = |BC|
3. Ckąt prosty przy D
4. DStosunek |AD| : |DB| równy |AC| : |BC|
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: Stosunek |AD| : |DB| równy |AC| : |BC| – Pola mają wspólną wysokość z C, więc ich stosunek to stosunek podstaw; z wzoru z sinusem to też |AC| : |BC|.

Cały dział „Okręgi i koła”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytań Fiszki · 9 🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 2

Równania i nierówności kwadratowe Wartość najmniejsza i największa funkcji kwadratowej, optymalizacja Wzory Viète'a i wyrażenia symetryczne pierwiastków Równania i nierówności kwadratowe z parametrem Równania dwukwadratowe i układy równań liniowo-kwadratowych Wykres funkcji kwadratowej: parabola, wierzchołek i przesuwanie Postacie wzoru funkcji kwadratowej i wyznaczanie wzoru Własności funkcji kwadratowej i odczytywanie z wykresu Wartość bezwzględna w funkcji kwadratowej Wielomiany – pojęcie, działania i wzory skróconego mnożenia Rozkład wielomianu na czynniki i równania w postaci iloczynowej Dzielenie wielomianu przez dwumian, twierdzenie Bézouta i schemat Hornera Równania i nierówności wielomianowe Symbol Newtona, trójkąt Pascala i wzór dwumianowy Wzory na sześciany i rozkład wielomianu: grupowanie, suma i różnica sześcianów Funkcja wymierna – hiperbola i asymptoty Odwrotna proporcjonalność w zadaniach: praca, ruch, zakupy Funkcja (ax + b)/(cx + d): wydzielanie całości, monotoniczność, złożenie Zadania z równaniami wymiernymi: wspólna praca i ruch Okrąg, cięciwa, styczna – wzajemne położenie Kąty w okręgu, długość łuku i pole wycinka Okrąg wpisany i opisany na trójkącie, punkty szczególne Czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu, twierdzenie odwrotne do Talesa Wzajemne położenie dwóch okręgów Dowody istnienia punktów szczególnych trójkąta Trygonometria w figurach płaskich – pola i długości odcinków Kąt skierowany i miara łukowa Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta, ćwiartki i wzory redukcyjne Wykresy funkcji trygonometrycznych Wzory na sumę, różnicę i kąt podwojony Równania trygonometryczne Twierdzenia sinusów i cosinusów – trójkąty dowolne Analiza przypadków i dowód nie wprost – trójkąt niejednoznaczny Dowodzenie w geometrii – jak zapisać uzasadnienie Modelowanie matematyczne i zapis rozwiązania na maturze