1Symetralne boków
- Symetralna odcinka to zbiór punktów jednakowo odległych od jego końców.
- Dane: O – punkt przecięcia symetralnych boków AB i BC. Teza: O leży na symetralnej boku AC.
- Krok 1: O leży na symetralnej AB, więc |OA| = |OB|. Krok 2: O leży na symetralnej BC, więc |OB| = |OC|.
- Wniosek: |OA| = |OC|, więc O leży na symetralnej AC.
Symetralne trzech boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie – środku okręgu opisanego.
2Wysokości
- Przez A, B, C prowadzimy proste równoległe do boków przeciwległych. Powstaje większy trójkąt A′B′C′, w którym A, B, C są środkami boków (powstają równoległoboki).
- Wysokość trójkąta ABC z C jest prostopadła do AB, a AB ∥ A′B′. Przechodzi więc przez środek C boku A′B′ prostopadle do niego, czyli leży na symetralnej tego boku. Tak samo pozostałe dwie.
- Symetralne boków trójkąta A′B′C′ przecinają się w jednym punkcie, więc proste zawierające wysokości trójkąta ABC też.
W dowodzie o wysokościach trójkąt A′B′C′ powstaje przez
Wierzchołki A, B, C stają się środkami boków większego trójkąta.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Środkowe
- Niech środkowe AA₁ i BB₁ przecinają się w S. Odcinek A₁B₁ łączy środki boków, więc jest równoległy do AB i równy jego połowie. Trójkąty SAB i SA₁B₁ są podobne w skali 2, więc |AS| = 2|SA₁| i |BS| = 2|SB₁|.
- Tak samo środkowe AA₁ i CC₁ przecinają się w punkcie S′, dla którego |AS′| = 2|S′A₁|. Na odcinku AA₁ jest tylko jeden punkt oddalony od A o 2 przez 3 jego długości, więc S′ = S.
Trzy środkowe przecinają się w jednym punkcie, który dzieli każdą w stosunku 2 : 1 od wierzchołka.
Dowodzisz tylko, że dwie proste się przecinają (zawsze się przetną), a trzeba pokazać, że trzecia przechodzi przez ten sam punkt.
✎Ściąga: Dowody istnienia punktów szczególnych trójkąta
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Symetralne trzech boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie – środku okręgu opisanego.
- Trzy środkowe przecinają się w jednym punkcie, który dzieli każdą w stosunku 2 : 1 od wierzchołka.
- Symetralna odcinka to zbiór punktów jednakowo odległych od jego końców.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Symetralna odcinka to zbiór punktów
- Aodległych od środka o połowę odcinka
- Btworzących z odcinkiem kąt 45°
- Cleżących na odcinku
- Djednakowo odległych od końców odcinka
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: jednakowo odległych od końców odcinka – Tak definiuje się symetralną odcinka.
Jeśli |OA| = |OB| i |OB| = |OC|, to
- Atrójkąt ABC jest równoboczny
- BO jest środkiem ciężkości
- C|OA| = |OC| i O leży na symetralnej AC
- DO leży na wysokości
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: |OA| = |OC| i O leży na symetralnej AC – To kluczowy krok dowodu o symetralnych.
Symetralne boków trójkąta przecinają się w środku okręgu
- Aopisanego
- Bwpisanego
- Cdopisanego
- Ddziewięciu punktów
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: opisanego – Jest równo oddalony od wierzchołków.
W dowodzie o wysokościach trójkąt A′B′C′ powstaje przez
- Apoprowadzenie przez wierzchołki prostych równoległych do przeciwległych boków
- Bpołączenie środków boków
- Cnarysowanie dwusiecznych
- Dodbicie trójkąta względem boku
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: poprowadzenie przez wierzchołki prostych równoległych do przeciwległych boków – Wierzchołki A, B, C stają się środkami boków większego trójkąta.
Wysokości trójkąta ABC leżą w trójkącie A′B′C′ na
- Aśrodkowych
- Bsymetralnych boków
- Cdwusiecznych kątów
- Dbokach
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: symetralnych boków – Są prostopadłe do boków i przechodzą przez ich środki.
W dowodzie o środkowych korzystamy z tego, że odcinek łączący środki dwóch boków
- Ama długość równą wysokości
- Bjest dwusieczną
- Cjest prostopadły do boku
- Djest równoległy do trzeciego boku i równy jego połowie
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: jest równoległy do trzeciego boku i równy jego połowie – To własność odcinka łączącego środki boków.
Dwie środkowe dzielą się w punkcie S w stosunku
- A1 : 1
- B1 : 2 licząc od wierzchołka
- C2 : 1 licząc od wierzchołka
- D3 : 1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 2 : 1 licząc od wierzchołka – Trójkąty SAB i SA₁B₁ są podobne w skali 2.
Co trzeba pokazać w dowodzie o środkowych?
- AŻe dwie środkowe się przecinają
- BŻe trzecia środkowa przechodzi przez ten sam punkt
- CŻe trójkąt jest równoboczny
- DŻe środkowe są równe
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: Że trzecia środkowa przechodzi przez ten sam punkt – Dwie proste się przetną zawsze, istotna jest trzecia.
Cały dział „Okręgi i koła”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.