Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży

wewnątrz trójkąta, ale nie na boku

Okrąg wpisany i opisany na trójkącie, punkty szczególne

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Okręgi i kołaklasa 2 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/2/matematyka/okrag-wpisany-i-opisany-na-trojkacie-punkty-szczegolne/

Gdzie leży środek okręgu opisanego, wpisanego, ortocentrum i środek ciężkości – i jakie wzory na R i r warto znać.

1Okrąg opisany

Położenie środka okręgu opisanego zależy od rodzaju trójkąta.

Okrąg opisany przechodzi przez wszystkie wierzchołki. Jego środek to punkt przecięcia symetralnych boków.
Środek leży wewnątrz trójkąta ostrokątnego, na środku przeciwprostokątnej w prostokątnym i na zewnątrz w rozwartokątnym.

2Okrąg wpisany

Środek okręgu opisanego – symetralne, środek wpisanego – dwusieczne.

Okrąg wpisany jest styczny do wszystkich boków. Jego środek to punkt przecięcia dwusiecznych, a promień r jest prostopadły do boku.

Sprawdź, czy rozumiesz

Środek okręgu opisanego leży na zewnątrz trójkąta, gdy trójkąt jest

3Wysokości i środkowe

Ortocentrum H i środek ciężkości S.

Ortocentrum to punkt przecięcia prostych zawierających wysokości. Środek ciężkości to punkt przecięcia środkowych; dzieli każdą środkową w stosunku 2 : 1, licząc od wierzchołka.

4Wzory na R i r

Zapamiętaj

Trójkąt prostokątny (przyprostokątne a, b, przeciwprostokątna c): R = c przez 2, r = a + b − c przez 2.

Dane: przyprostokątne a = 6 i b = 8.
Przeciwprostokątna z Pitagorasa: c = pierwiastek z 36 + 64 = 10.
Obliczenia: R = 10 przez 2 = 5, r = 6 + 8 − 10 przez 2 = 2.
Odpowiedź: R = 5, r = 2. (Dla 3, 4, 5 wychodzi R = 2,5 i r = 1.)
Trójkąt równoboczny o boku a: R = apierwiastek z 3 przez 3, r = apierwiastek z 3 przez 6, więc R = 2r. Dla a = 6: R = 2pierwiastek z 3, r = pierwiastek z 3.
Dodatek (nie jest wymagany w podstawie): P = r · p, gdzie p to połowa obwodu. Dla 3, 4, 5: p = 6, r = 1, P = 6.

Uwaga na błąd

Środek okręgu wpisanego to przecięcie dwusiecznych, a nie wysokości czy symetralnych. Wysokości, środkowe i dwusieczne pokrywają się tylko w trójkącie równobocznym.

Sprawdź, czy rozumiesz

Środek ciężkości dzieli środkową w stosunku

✎Ściąga: Okrąg wpisany i opisany na trójkącie, punkty szczególne

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

Trójkąt prostokątny (przyprostokątne a, b, przeciwprostokątna c): R = c przez 2, r = a + b − c przez 2.
Okrąg opisany przechodzi przez wszystkie wierzchołki. Jego środek to punkt przecięcia symetralnych boków.
Okrąg wpisany jest styczny do wszystkich boków. Jego środek to punkt przecięcia dwusiecznych, a promień r jest prostopadły do boku.
Ortocentrum to punkt przecięcia prostych zawierających wysokości. Środek ciężkości to punkt przecięcia środkowych; dzieli każdą środkową w stosunku 2 : 1, licząc od wierzchołka.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

Środek okręgu wpisanego w trójkąt leży w punkcie przecięcia
1. Adwusiecznych
2. Bwysokości
3. Csymetralnych boków
4. Dśrodkowych
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: dwusiecznych – Okrąg wpisany jest styczny do boków, więc jego środek jest równo oddalony od boków, czyli leży na dwusiecznych.
Środek okręgu opisanego na trójkącie leży w punkcie przecięcia
1. Adwusiecznych
2. Bsymetralnych boków
3. Cwysokości
4. Dśrodkowych
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: symetralnych boków – Jest równo oddalony od wierzchołków, czyli leży na symetralnych boków.
Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży
1. Aw środku przeciwprostokątnej
2. Bwewnątrz trójkąta, ale nie na boku
3. Cw wierzchołku kąta prostego
4. Dna zewnątrz trójkąta
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: w środku przeciwprostokątnej – Kąt prosty jest oparty na średnicy, więc przeciwprostokątna jest średnicą.
Dla trójkąta o bokach 3, 4, 5 promień okręgu wpisanego wynosi
1. A1
2. B2,5
3. C2
4. D6
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 1 – r = 3 + 4 − 5 przez 2 = 1.
Dla trójkąta o bokach 3, 4, 5 promień okręgu opisanego wynosi
1. A2
2. B2,5
3. C1
4. D5
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 2,5 – R = c przez 2 = 5 przez 2.
Środek ciężkości dzieli środkową w stosunku
1. A1 : 1
2. B1 : 2 licząc od wierzchołka
3. C3 : 1 licząc od wierzchołka
4. D2 : 1 licząc od wierzchołka
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 2 : 1 licząc od wierzchołka – Dłuższa część (dwie trzecie) jest przy wierzchołku.
W trójkącie równobocznym o boku 6 promień okręgu wpisanego to
1. Apierwiastek z 3
2. B2pierwiastek z 3
3. C6pierwiastek z 3
4. D3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: pierwiastek z 3 – r = apierwiastek z 3 przez 6 = 6pierwiastek z 3 przez 6 = pierwiastek z 3.
Środek okręgu opisanego leży na zewnątrz trójkąta, gdy trójkąt jest
1. Aostrokątny
2. Bprostokątny
3. Crównoboczny
4. Drozwartokątny
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: rozwartokątny – Dla kąta rozwartego środek wypada poza trójkątem.

Cały dział „Okręgi i koła”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytań Fiszki · 10 🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 2

Równania i nierówności kwadratowe Wartość najmniejsza i największa funkcji kwadratowej, optymalizacja Wzory Viète'a i wyrażenia symetryczne pierwiastków Równania i nierówności kwadratowe z parametrem Równania dwukwadratowe i układy równań liniowo-kwadratowych Wykres funkcji kwadratowej: parabola, wierzchołek i przesuwanie Postacie wzoru funkcji kwadratowej i wyznaczanie wzoru Własności funkcji kwadratowej i odczytywanie z wykresu Wartość bezwzględna w funkcji kwadratowej Wielomiany – pojęcie, działania i wzory skróconego mnożenia Rozkład wielomianu na czynniki i równania w postaci iloczynowej Dzielenie wielomianu przez dwumian, twierdzenie Bézouta i schemat Hornera Równania i nierówności wielomianowe Symbol Newtona, trójkąt Pascala i wzór dwumianowy Wzory na sześciany i rozkład wielomianu: grupowanie, suma i różnica sześcianów Funkcja wymierna – hiperbola i asymptoty Odwrotna proporcjonalność w zadaniach: praca, ruch, zakupy Funkcja (ax + b)/(cx + d): wydzielanie całości, monotoniczność, złożenie Zadania z równaniami wymiernymi: wspólna praca i ruch Okrąg, cięciwa, styczna – wzajemne położenie Kąty w okręgu, długość łuku i pole wycinka Czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu, twierdzenie odwrotne do Talesa Twierdzenie o dwusiecznej i o odcinkach w trójkącie prostokątnym Wzajemne położenie dwóch okręgów Dowody istnienia punktów szczególnych trójkąta Trygonometria w figurach płaskich – pola i długości odcinków Kąt skierowany i miara łukowa Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta, ćwiartki i wzory redukcyjne Wykresy funkcji trygonometrycznych Wzory na sumę, różnicę i kąt podwojony Równania trygonometryczne Twierdzenia sinusów i cosinusów – trójkąty dowolne Analiza przypadków i dowód nie wprost – trójkąt niejednoznaczny Dowodzenie w geometrii – jak zapisać uzasadnienie Modelowanie matematyczne i zapis rozwiązania na maturze