ogarniam.edu.pl
Klasa
Zacznij naukę →Zacznij →

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Okręgi i kołaklasa 2 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/2/matematyka/katy-w-okregu-dlugosc-luku-i-pole-wycinka/

Matematyka · Okręgi i koła · kl. 2

Kąty w okręgu, długość łuku i pole wycinka

Kąt środkowy, kąt wpisany i ich związek – z dowodem – a potem łuk i wycinek koła.

ok. 2 min czytania9 fiszek8 pytań w quizie🔊 Posłuchaj notatki

1Dwa rodzaje kątów

αβABCO
Kąt środkowy α i kąt wpisany β oparte na tym samym łuku AB: α = 2β.
  • Kąt środkowy ma wierzchołek w środku okręgu. Kąt wpisany ma wierzchołek na okręgu, a jego ramiona zawierają cięciwy.
Zapamiętaj

Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

2Dowód (szkic)

ββ2βABCOOA = OC = r⇒ trójkąt AOCjest równoramiennykąt zewnętrzny= suma dwóchwewnętrznych:2β = β + β
Jedno ramię kąta wpisanego przechodzi przez środek O.
  • Niech ramię CB przechodzi przez O. Trójkąt AOC jest równoramienny, bo OA = OC = r, więc kąty przy A i C mają po β.
  • Kąt środkowy AOB jest kątem zewnętrznym tego trójkąta, więc ma β + β = 2β. Gdy środek leży gdzie indziej, prowadzisz średnicę z C i dodajesz albo odejmujesz dwa takie przypadki.
Sprawdź, czy rozumiesz

W dowodzie, gdy ramię kąta wpisanego przechodzi przez środek, trójkąt AOC jest równoramienny, bo

3Co z tego wynika

ββABCDten sam łuk ⇒ β = βABCOna średnicy ⇒ 90°
Kąty oparte na tym samym łuku są równe, a kąt oparty na średnicy jest prosty.
  • Dwa kąty wpisane w ten sam okrąg są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są oparte na równych łukach (równe łuki mają równe kąty środkowe).
  • Kąt wpisany oparty na półokręgu ma 90°, bo kąt środkowy ma 180°.
  • Przykład: kąt środkowy 100° → wpisany 50°; wpisany 35° → środkowy 70°.

4Łuk i wycinek

αOrłuk LL = α/360° · 2πrP = α/360° · πr²α = 60°, r = 6:L = 2π, P = 6π
Długość łuku i pole wycinka to ułamek α przez 360° obwodu i pola koła.
  • Dane: α = 60°, r = 6.
  • Wzory: L = α przez 360° · 2πr, P = α przez 360° · πr² (α – kąt środkowy w stopniach, r – promień).
  • Obliczenia: L = 1 przez 6 · 12π = 2π, P = 1 przez 6 · 36π = 6π.
  • Odpowiedź: łuk ma długość 2π, a wycinek pole 6π (jednostki długości lub pola).
Uwaga na błąd

Mylisz kąt środkowy z wpisanym – wpisany jest dwa razy mniejszy. Drugi błąd: wzór na łuk z πr² zamiast 2πr.

Sprawdź, czy rozumiesz

Dwa kąty wpisane w ten sam okrąg są równe wtedy i tylko wtedy, gdy

✎Ściąga: Kąty w okręgu, długość łuku i pole wycinka

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

  • Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.
  • Kąt środkowy ma wierzchołek w środku okręgu. Kąt wpisany ma wierzchołek na okręgu, a jego ramiona zawierają cięciwy.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

  1. Kąt środkowy ma 80°. Kąt wpisany oparty na tym samym łuku ma

    1. A40°
    2. B160°
    3. C20°
    4. D80°
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 40° – Kąt wpisany to połowa kąta środkowego.

  2. Kąt wpisany oparty na średnicy okręgu ma

    1. A180°
    2. B60°
    3. C45°
    4. D90°
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: 90° – Kąt środkowy oparty na średnicy ma 180°, więc wpisany ma 90°.

  3. Kąty wpisane oparte na tym samym łuku

    1. Asą dwa razy większe od środkowego
    2. Bsą równe
    3. Cdają w sumie 180°
    4. Dsą zawsze proste
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: są równe – Każdy z nich jest połową tego samego kąta środkowego.

  4. Dla r = 6 i α = 60° długość łuku wynosi

    1. A2π
    2. B12π
    3. C6π
    4. Dπ
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 2π – L = 1 przez 6 · 2π · 6 = 2π.

  5. Pole wycinka koła o promieniu 3 i kącie środkowym 120° to

    1. Aπ
    2. B6π
    3. C3π
    4. D9π
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 3π – P = 1 przez 3 · π · 9 = 3π.

  6. W dowodzie, gdy ramię kąta wpisanego przechodzi przez środek, trójkąt AOC jest równoramienny, bo

    1. AAC = r
    2. BOA = OC = r
    3. Ckąt O ma 60°
    4. Dkąt A jest prosty
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: OA = OC = r – Oba odcinki OA i OC są promieniami okręgu.

  7. Trójkąt wpisany w okrąg ma bok będący średnicą. Ten trójkąt jest

    1. Arozwartokątny
    2. Brównoboczny
    3. Cprostokątny
    4. Dzawsze równoramienny
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: prostokątny – Kąt naprzeciw średnicy jest wpisany i oparty na półokręgu, więc ma 90°.

  8. Dwa kąty wpisane w ten sam okrąg są równe wtedy i tylko wtedy, gdy

    1. Amają wspólny wierzchołek
    2. Bmają wspólne ramię
    3. Csą oparte na różnych łukach
    4. Dsą oparte na równych łukach
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: są oparte na równych łukach – Równe łuki dają równe kąty środkowe, więc i wpisane.

Cały dział „Okręgi i koła”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytańFiszki · 9🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 2

Równania i nierówności kwadratoweWartość najmniejsza i największa funkcji kwadratowej, optymalizacjaWzory Viète'a i wyrażenia symetryczne pierwiastkówRównania i nierówności kwadratowe z parametremRównania dwukwadratowe i układy równań liniowo-kwadratowychWykres funkcji kwadratowej: parabola, wierzchołek i przesuwaniePostacie wzoru funkcji kwadratowej i wyznaczanie wzoruWłasności funkcji kwadratowej i odczytywanie z wykresuWartość bezwzględna w funkcji kwadratowejWielomiany – pojęcie, działania i wzory skróconego mnożeniaRozkład wielomianu na czynniki i równania w postaci iloczynowejDzielenie wielomianu przez dwumian, twierdzenie Bézouta i schemat HorneraRównania i nierówności wielomianoweSymbol Newtona, trójkąt Pascala i wzór dwumianowyWzory na sześciany i rozkład wielomianu: grupowanie, suma i różnica sześcianówFunkcja wymierna – hiperbola i asymptotyOdwrotna proporcjonalność w zadaniach: praca, ruch, zakupyFunkcja (ax + b)/(cx + d): wydzielanie całości, monotoniczność, złożenieZadania z równaniami wymiernymi: wspólna praca i ruchOkrąg, cięciwa, styczna – wzajemne położenieOkrąg wpisany i opisany na trójkącie, punkty szczególneCzworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu, twierdzenie odwrotne do TalesaTwierdzenie o dwusiecznej i o odcinkach w trójkącie prostokątnymWzajemne położenie dwóch okręgówDowody istnienia punktów szczególnych trójkątaTrygonometria w figurach płaskich – pola i długości odcinkówKąt skierowany i miara łukowaFunkcje trygonometryczne dowolnego kąta, ćwiartki i wzory redukcyjneWykresy funkcji trygonometrycznychWzory na sumę, różnicę i kąt podwojonyRównania trygonometryczneTwierdzenia sinusów i cosinusów – trójkąty dowolneAnaliza przypadków i dowód nie wprost – trójkąt niejednoznacznyDowodzenie w geometrii – jak zapisać uzasadnienieModelowanie matematyczne i zapis rozwiązania na maturze