ogarniam.edu.pl
Klasa
Zacznij naukę →Zacznij →
Matematyka · powtórka działu · kl. 4

Granice i pochodna – powtórka do sprawdzianu

ogarniam.edu.pl · Matematyka · klasa 4 LOściąga z działu · próbny test: ogarniam.edu.pl/lo/4/matematyka/powtorka/granice-i-pochodna/

Sprawdzian albo kartkówka z działu „Granice i pochodna”? Przeczytaj ściągę, rozwiąż próbny test (16 pytań z odpowiedziami), a potem sprawdź się w teście z wynikiem i oceną.

Test z działu · 10 pytańPróbny sprawdzian na tej stronie ↓

Tematy w dziale

✎Ściąga z działu

Granica funkcji, granice jednostronne i ciągłość (rozszerzenie)

  • Granica w punkcie opisuje „okolice” punktu. Ciągłość znaczy: granica jest równa wartości w punkcie.
  • Krok po kroku: lim(x→2) x² − 4 przez x − 2. Podstawienie x = 2 daje 0 przez 0 – trzeba przekształcić.
  • lim(x→x₀⁺) to granica z prawej strony (x > x₀), lim(x→x₀⁻) z lewej (x < x₀). Granica w x₀ istnieje, gdy obie jednostronne istnieją i są równe.

Obliczanie granic funkcji (rozszerzenie)

  • Najpierw spróbuj podstawić. Gdy wychodzi 0 przez 0, skracaj lub mnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ dziel przez najwyższą potęgę.
  • Symbole nieoznaczone: 0 przez 0, ∞ przez ∞, ∞ − ∞, 0 · ∞. Wymagają przekształcenia.
  • Skracanie. lim(x→3) x² − 9 przez x − 3 = lim (x + 3) = 6.

Własność Darboux i miejsca zerowe (rozszerzenie)

  • f ciągła na ⟨a, b⟩ i f(a) · f(b) < 0 gwarantuje istnienie zera w (a, b).
  • Dane: f(x) = x³ + x − 3, wykaż, że równanie f(x) = 0 ma rozwiązanie w przedziale (1, 2).
  • Szukanie przybliżenia (połowienie): f(1,5) = 1,875 > 0, więc zero jest w (1; 1,5). f(1,25) ≈ 0,203 > 0, więc w (1; 1,25). f(1,125) ≈ −⁠0,451 < 0, więc w (1,125; 1,25). Zero jest w tym wąskim przedziale (ok. 1,21).

Pochodna funkcji: definicja i interpretacje (rozszerzenie)

  • f′(x₀) = lim(h→0) f(x₀ + h) − f(x₀) przez h, o ile granica istnieje i jest skończona. Tu x₀ to punkt, h to mały przyrost x, a iloraz to nachylenie siecznej.
  • f′(x₀) to granica ilorazu różnicowego. Geometrycznie: nachylenie stycznej. Fizycznie: prędkość chwilowa.
  • Krok po kroku: f(x) = x², x₀ = 1. Iloraz różnicowy: (1 + h)² − 1 przez h = 2h + h² przez h = 2 + h.

Reguły różniczkowania (rozszerzenie)

  • Pochodna funkcji złożonej to pochodna zewnętrznej (w środku zostaje wnętrze) razy pochodna wewnętrznej.
  • (xa)′ = a · xa − 1, gdzie a to dowolna liczba rzeczywista (w dziedzinie funkcji i pochodnej). Przykłady: (x³)′ = 3x², (pierwiastek z x)′ = 1 przez 2pierwiastek z x, (1 przez x)′ = −⁠1 przez x².
  • (c)′ = 0 dla stałej c. (c · f)′ = c · f′ (stała wychodzi przed pochodną).

Monotoniczność i ekstrema funkcji (rozszerzenie)

  • Szukasz zer pochodnej, badasz zmianę jej znaku i porównujesz wartości w tych punktach oraz na końcach przedziału.
  • Ekstremum lokalne w x₀: f′ zmienia znak. Z plusa na minus to maksimum, z minusa na plus to minimum.
  • f′(x₀) = 0 to warunek konieczny, ale niewystarczający. Dla f(x) = x³ mamy f′(0) = 0, a ekstremum nie ma, bo f′ = 3x² jest po obu stronach dodatnie.

Styczna do wykresu funkcji (rozszerzenie)

  • y = f(x₀) + f′(x₀) · (x − x₀), gdzie x₀ to odcięta punktu styczności, f(x₀) jego rzędna, a f′(x₀) współczynnik kierunkowy stycznej.
  • Najpierw szukasz x₀ (z warunku na nachylenie lub punkt), potem podstawiasz do y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀).
  • Krok po kroku: f(x) = x³ − 3x, x₀ = 2.

Optymalizacja z pochodną (rozszerzenie)

  • Przy zadaniach z optymalizacją zawsze sprawdzaj, czy punkt z f′ = 0 leży w dziedzinie praktycznej i czy to maksimum (minimum), o które pytano.
  • Dane: kartka 12 cm × 12 cm, w rogach wycinamy kwadraty o boku x (cm).
  • Funkcja: podstawa ma bok 12 − 2x, wysokość x, więc V(x) = x(12 − 2x)², dla 0 < x < 6.

?Próbny sprawdzian

Pytania z każdego tematu działu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź z wyjaśnieniem.

  1. lim(x→2) x² − 4 przez x − 2 wynosi

    1. Anie istnieje
    2. B4
    3. C2
    4. D0
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 4 – Po skróceniu to x + 2, a dla x → 2 wartość dąży do 4.

  2. Dla f(x) = |x| przez x granica prawostronna w 0 wynosi

    1. A+∞
    2. B1
    3. C0
    4. D−⁠1
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 1 – Dla x > 0 mamy |x| = x, więc f(x) = 1.

  3. lim(x→3) x² − 9 przez x − 3 wynosi

    1. A6
    2. B0
    3. C3
    4. Dnie istnieje
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: 6 – Po skróceniu: x + 3 dąży do 6.

  4. lim(x→∞) 3x² + 1 przez x² − 5 wynosi

    1. A∞
    2. B1 przez 5
    3. C3
    4. D0
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 3 – Po podzieleniu przez x² zostaje 3 przez 1 = 3.

  5. Które założenie jest niezbędne w twierdzeniu o miejscu zerowym?

    1. Aa i b są całkowite
    2. Bf jest wielomianem stopnia 3
    3. Cf jest rosnąca
    4. Df jest ciągła na ⟨a, b⟩
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: f jest ciągła na ⟨a, b⟩ – Bez ciągłości funkcja może „przeskoczyć” zero.

  6. f(x) = x³ + x − 1. Równanie f(x) = 0 ma rozwiązanie w

    1. A(0, 1)
    2. B(−⁠1, 0)
    3. C(2, 3)
    4. D(1, 2)
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: (0, 1) – f(0) = −⁠1 < 0 i f(1) = 1 > 0.

  7. Pochodna funkcji f w punkcie x₀ to

    1. Agranica ilorazu różnicowego przy h → 0
    2. Bnajwiększa wartość f
    3. Cwartość f(x₀)
    4. Dpole pod wykresem
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: granica ilorazu różnicowego przy h → 0 – Definicja: f′(x₀) = lim(h→0) f(x₀ + h) − f(x₀) przez h.

  8. Dla f(x) = x² z definicji f′(3) wynosi

    1. A2
    2. B9
    3. C3
    4. D6
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: 6 – Iloraz to 6 + h, granica 6.

  9. Pochodna funkcji f(x) = x³ − 4x² + 5 to

    1. A3x² − 8x + 5
    2. B3x² − 4x
    3. Cx² − 8x
    4. D3x² − 8x
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: 3x² − 8x – Każdy składnik osobno: (x³)′ = 3x², (4x²)′ = 8x, stała daje 0.

  10. Pochodna funkcji f(x) = pierwiastek z x to

    1. A1 przez pierwiastek z x
    2. B2pierwiastek z x
    3. C1 przez 2pierwiastek z x
    4. Dpierwiastek z x przez 2
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: 1 przez 2pierwiastek z x – (x1 przez 2)′ = 1 przez 2 · x−⁠1 przez 2 = 1 przez 2pierwiastek z x.

  11. Jeśli f′(x) > 0 na przedziale, to na nim f jest

    1. Amalejąca
    2. Bstała
    3. Cnieciągła
    4. Drosnąca
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: rosnąca – Dodatnia pochodna oznacza rosnącą funkcję.

  12. Pochodna f(x) = x³ − 3x to

    1. Ax² − 3
    2. B3x − 3
    3. C3x²
    4. D3x² − 3
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: 3x² − 3 – (x³)′ = 3x², (3x)′ = 3.

  13. Styczna do wykresu f(x) = x² w punkcie x₀ = 1 ma równanie

    1. Ay = x
    2. By = 2x − 1
    3. Cy = x²
    4. Dy = 2x + 1
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: y = 2x − 1 – f(1) = 1, f′(1) = 2: y = 1 + 2(x − 1) = 2x − 1.

  14. Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu f w punkcie x₀ to

    1. Ax₀
    2. Bf′(x₀)
    3. Cf(x₀)
    4. Df′(0)
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: f′(x₀) – Pochodna jest nachyleniem stycznej.

  15. Pudełko powstaje z kartki 12 cm × 12 cm przez wycięcie kwadratów o boku x w rogach. Jego objętość to

    1. AV(x) = x(12 − 2x)²
    2. BV(x) = (12 − 2x)²
    3. CV(x) = x² (12 − 2x)
    4. DV(x) = x(12 − x)²
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: V(x) = x(12 − 2x)² – Podstawa ma bok 12 − 2x, wysokość x.

  16. Dziedzina praktyczna w zadaniu z pudełkiem to

    1. Ax ≥ 6
    2. B0 < x < 6
    3. C0 < x < 12
    4. Dx > 0
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 0 < x < 6 – Bok podstawy 12 − 2x musi być dodatni, więc x < 6.

Sprawdzian już blisko? Zrób test z całego działu

10 losowych pytań z tematów działu, wynik w procentach i ocena od 1 do 6. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Test z działu · 10 pytańWszystkie tematy: Matematyka