1Wzory podstawowe
- (xa)′ = a · xa − 1, gdzie a to dowolna liczba rzeczywista (w dziedzinie funkcji i pochodnej). Przykłady: (x³)′ = 3x², (pierwiastek z x)′ = 1 przez 2pierwiastek z x, (1 przez x)′ = −1 przez x².
- (c)′ = 0 dla stałej c. (c · f)′ = c · f′ (stała wychodzi przed pochodną).
2Działania na funkcjach
| reguła | wzór |
|---|---|
| suma, różnica | (f ± g)′ = f′ ± g′ |
| iloczyn | (f · g)′ = f′ · g + f · g′ |
| iloraz (g ≠ 0) | (f przez g)′ = f′ · g − f · g′ przez g² |
| złożenie | (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x) |
- W tabeli f i g to funkcje różniczkowalne w rozważanym punkcie.
Pochodna funkcji f(x) = x³ − 4x² + 5 to
Każdy składnik osobno: (x³)′ = 3x², (4x²)′ = 8x, stała daje 0.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Przykłady krok po kroku
- Wielomian: f(x) = x³ − 4x² + 5. Pochodna po składnikach: f′(x) = 3x² − 8x.
- Iloczyn: f(x) = x²(x³ + 1). f′ = 2x · (x³ + 1) + x² · 3x² = 5x⁴ + 2x.
- Iloraz krok po kroku: f(x) = 2x + 1 przez x − 3, x ≠ 3.
- Wypisz: licznik 2x + 1, jego pochodna 2; mianownik x − 3, jego pochodna 1.
- Wzór: f′ = 2(x − 3) − (2x + 1) · 1 przez (x − 3)² = 2x − 6 − 2x − 1 przez (x − 3)².
- Odpowiedź: f′(x) = −7 przez (x − 3)².
- Złożenie: f(x) = (x² + 1)³. Funkcja zewnętrzna to u³, wewnętrzna u = x² + 1. f′ = 3(x² + 1)² · 2x = 6x(x² + 1)².
- Złożenie: (3x − 1)⁵ ma pochodną 5(3x − 1)⁴ · 3 = 15(3x − 1)⁴.
Pochodna funkcji złożonej to pochodna zewnętrznej (w środku zostaje wnętrze) razy pochodna wewnętrznej.
(f · g)′ = f′ · g′
Przy iloczynie są dwa składniki, a przy ilorazie licznik ma minus: f′g − fg′.
✎Ściąga: Reguły różniczkowania
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Pochodna funkcji złożonej to pochodna zewnętrznej (w środku zostaje wnętrze) razy pochodna wewnętrznej.
- (xa)′ = a · xa − 1, gdzie a to dowolna liczba rzeczywista (w dziedzinie funkcji i pochodnej). Przykłady: (x³)′ = 3x², (pierwiastek z x)′ = 1 przez 2pierwiastek z x, (1 przez x)′ = −1 przez x².
- (c)′ = 0 dla stałej c. (c · f)′ = c · f′ (stała wychodzi przed pochodną).
- Wielomian: f(x) = x³ − 4x² + 5. Pochodna po składnikach: f′(x) = 3x² − 8x.
- Iloczyn: f(x) = x²(x³ + 1). f′ = 2x · (x³ + 1) + x² · 3x² = 5x⁴ + 2x.
- Iloraz krok po kroku: f(x) = 2x + 1 przez x − 3, x ≠ 3.
- Złożenie: f(x) = (x² + 1)³. Funkcja zewnętrzna to u³, wewnętrzna u = x² + 1. f′ = 3(x² + 1)² · 2x = 6x(x² + 1)².
- Złożenie: (3x − 1)⁵ ma pochodną 5(3x − 1)⁴ · 3 = 15(3x − 1)⁴.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Pochodna funkcji f(x) = x³ − 4x² + 5 to
- A3x² − 8x + 5
- B3x² − 4x
- Cx² − 8x
- D3x² − 8x
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 3x² − 8x – Każdy składnik osobno: (x³)′ = 3x², (4x²)′ = 8x, stała daje 0.
Pochodna funkcji f(x) = pierwiastek z x to
- A1 przez pierwiastek z x
- B2pierwiastek z x
- C1 przez 2pierwiastek z x
- Dpierwiastek z x przez 2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 1 przez 2pierwiastek z x – (x1 przez 2)′ = 1 przez 2 · x−1 przez 2 = 1 przez 2pierwiastek z x.
Pochodna funkcji f(x) = 1 przez x to
- A1 przez x²
- B−2x
- C−1 przez x
- D−1 przez x²
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: −1 przez x² – (x⁻¹)′ = −x⁻².
Pochodna f(x) = x²(x³ + 1) wynosi
- A6x⁴
- B2x · 3x²
- C5x⁴
- D5x⁴ + 2x
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 5x⁴ + 2x – Iloczyn: 2x(x³ + 1) + x² · 3x² = 5x⁴ + 2x.
Pochodna f(x) = 2x + 1 przez x − 3 to
- A−5 przez (x − 3)²
- B−7 przez (x − 3)²
- C2 przez x − 3
- D7 przez (x − 3)²
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: −7 przez (x − 3)² – 2(x − 3) − (2x + 1) przez (x − 3)² = −7 przez (x − 3)².
Pochodna f(x) = (x² + 1)³ to
- A3x²
- B6x(x² + 1)²
- C6x(x² + 1)
- D3(x² + 1)²
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 6x(x² + 1)² – Zewnętrzna daje 3(x² + 1)², wewnętrzna 2x.
Pochodna f(x) = (3x − 1)⁵ to
- A5 · 3x
- B5(3x − 1)⁴
- C15(3x − 1)⁴
- D15(3x − 1)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 15(3x − 1)⁴ – 5(3x − 1)⁴ · 3 = 15(3x − 1)⁴.
Pochodna stałej f(x) = 7 wynosi
- Anie istnieje
- B0
- C7
- D1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 0 – Funkcja stała nie zmienia się, więc jej pochodna to 0.
Cały dział „Granice i pochodna”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.