1Reguły
- Jeśli granice istnieją, to granica sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu to suma, różnica, iloczyn i iloraz granic (w ilorazie granica mianownika ≠ 0).
- Symbole nieoznaczone: 0 przez 0, ∞ przez ∞, ∞ − ∞, 0 · ∞. Wymagają przekształcenia.
2Granica w punkcie: symbol „zero przez zero”
- Skracanie. lim(x→3) x² − 9 przez x − 3 = lim (x + 3) = 6.
- Mnożenie przez wyrażenie sprzężone. lim(x→3) pierwiastek z x + 1 − 2 przez x − 3: mnożysz licznik i mianownik przez pierwiastek z x + 1 + 2, licznik zmienia się w (x + 1) − 4 = x − 3, a po skróceniu zostaje 1 przez pierwiastek z x + 1 + 2, które dąży do 1 przez 4.
Które z wyrażeń jest symbolem nieoznaczonym?
0 przez 0 nie ma z góry znanej wartości, a pozostałe dają zawsze 0, +∞ i +∞.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Granica w nieskończoności
- Dziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę x z mianownika.
| porównanie stopni | granica przy x → ∞ | przykład |
|---|---|---|
| stopień licznika mniejszy | 0 | 2x + 1 przez x² + 3 dąży do 0 |
| stopnie równe | iloraz współczynników przy najwyższych potęgach | 3x² + 1 przez x² − 5 dąży do 3 |
| stopień licznika większy | +∞ lub −∞ | x² − 1 przez x + 2 dąży do +∞ |
- Krok po kroku: lim(x→∞) 3x² + 1 przez x² − 5. Najwyższa potęga w mianowniku to x².
- Dzielimy licznik i mianownik przez x²: 3 + 1 przez x² przez 1 − 5 przez x².
- Ułamki 1 przez x² i 5 przez x² dążą do 0, więc licznik dąży do 3, a mianownik do 1.
- Odpowiedź: granica wynosi 3.
- Różnica ∞ − ∞: lim(x→∞) (pierwiastek z x² + x − x). Mnożysz przez sprzężenie: x przez pierwiastek z x² + x + x = 1 przez pierwiastek z 1 + 1 przez x + 1, co dąży do 1 przez 2.
4Asymptoty (dodatek)
- Jeśli granica jednostronna w x₀ jest ±∞, prosta x = x₀ jest asymptotą pionową. Jeśli lim(x→±∞) f(x) = g, to y = g jest asymptotą poziomą. Funkcja 1 przez x − 1 + 2 ma asymptoty x = 1 i y = 2.
Najpierw spróbuj podstawić. Gdy wychodzi 0 przez 0, skracaj lub mnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ dziel przez najwyższą potęgę.
Zapis ∞ przez ∞ = 1 albo 0 przez 0 = 0. To symbole nieoznaczone, a wynik zależy od wyrażenia.
lim(x→3) pierwiastek z x + 1 − 2 przez x − 3 wynosi
Po pomnożeniu przez sprzężenie zostaje 1 przez pierwiastek z x + 1 + 2, więc 1 przez 4.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
✎Ściąga: Obliczanie granic funkcji
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Najpierw spróbuj podstawić. Gdy wychodzi 0 przez 0, skracaj lub mnóż przez sprzężenie. Przy x → ∞ dziel przez najwyższą potęgę.
- Symbole nieoznaczone: 0 przez 0, ∞ przez ∞, ∞ − ∞, 0 · ∞. Wymagają przekształcenia.
- Skracanie. lim(x→3) x² − 9 przez x − 3 = lim (x + 3) = 6.
- Mnożenie przez wyrażenie sprzężone. lim(x→3) pierwiastek z x + 1 − 2 przez x − 3: mnożysz licznik i mianownik przez pierwiastek z x + 1 + 2, licznik zmienia się w (x + 1) − 4 = x − 3, a po skróceniu zostaje 1 przez pierwiastek z x + 1 + 2, które dąży do 1 przez 4.
- Krok po kroku: lim(x→∞) 3x² + 1 przez x² − 5. Najwyższa potęga w mianowniku to x².
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
lim(x→3) x² − 9 przez x − 3 wynosi
- A6
- B0
- C3
- Dnie istnieje
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 6 – Po skróceniu: x + 3 dąży do 6.
lim(x→∞) 3x² + 1 przez x² − 5 wynosi
- A∞
- B1 przez 5
- C3
- D0
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 3 – Po podzieleniu przez x² zostaje 3 przez 1 = 3.
lim(x→∞) 2x + 1 przez x² + 3 wynosi
- A0
- B2
- C1 przez 3
- D∞
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 0 – Stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika.
lim(x→∞) x² − 1 przez x + 2 wynosi
- A−2
- B+∞
- C0
- D1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: +∞ – Stopień licznika jest większy niż mianownika, więc wyrażenie rośnie bez ograniczeń.
lim(x→3) pierwiastek z x + 1 − 2 przez x − 3 wynosi
- A1 przez 4
- B0
- Cnie istnieje
- D1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: 1 przez 4 – Po pomnożeniu przez sprzężenie zostaje 1 przez pierwiastek z x + 1 + 2, więc 1 przez 4.
lim(x→1) x − 1 przez x² − 1 wynosi
- A1
- B2
- C1 przez 2
- D0
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 1 przez 2 – Po skróceniu: 1 przez x + 1 dąży do 1 przez 2.
lim(x→∞) 5x² − 3 przez 2x² + x wynosi
- A0
- B5 przez 2
- C5
- D∞
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 5 przez 2 – Stopnie są równe, więc iloraz współczynników: 5 przez 2.
Które z wyrażeń jest symbolem nieoznaczonym?
- A1 przez ∞
- B∞ + ∞
- C0 przez 0
- D∞ · ∞
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 0 przez 0 – 0 przez 0 nie ma z góry znanej wartości, a pozostałe dają zawsze 0, +∞ i +∞.
Cały dział „Granice i pochodna”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.