1Wzór
y = f(x₀) + f′(x₀) · (x − x₀), gdzie x₀ to odcięta punktu styczności, f(x₀) jego rzędna, a f′(x₀) współczynnik kierunkowy stycznej.
- Przykład: f(x) = x², x₀ = 1. f(1) = 1, f′(1) = 2, więc y = 1 + 2(x − 1) = 2x − 1.
- Krok po kroku: f(x) = x³ − 3x, x₀ = 2.
- Rzędna: f(2) = 8 − 6 = 2. Pochodna: f′(x) = 3x² − 3, więc f′(2) = 9.
- Wzór: y = 2 + 9(x − 2). Odpowiedź: y = 9x − 16.
2Gdy dany jest kierunek stycznej
- Równoległa do prostej y = 3x + 7: współczynnik kierunkowy ma być 3, więc f′(x₀) = 3. Dla f(x) = x²: 2x₀ = 3, x₀ = 3 przez 2. Punkt: (3 przez 2, 9 przez 4). Styczna: y = 9 przez 4 + 3(x − 3 przez 2) = 3x − 9 przez 4.
- Prostopadła do y = −1 przez 2x + 1: iloczyn współczynników ma być −1, więc f′(x₀) = 2. Dla x²: 2x₀ = 2, x₀ = 1.
W którym punkcie styczna do y = x² jest równoległa do y = 3x + 7?
f′(x₀) = 2x₀ = 3, więc x₀ = 3 przez 2.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Gdy dany jest punkt poza wykresem
- Ustal nieznane x₀. Wpisz punkt do wzoru stycznej i rozwiąż równanie na x₀.
- Dla f(x) = x² i P(0, −1): styczna ma postać y = x₀² + 2x₀(x − x₀). Dla x = 0, y = −1 dostajemy −1 = x₀² − 2x₀² = −x₀², więc x₀ = 1 lub x₀ = −1. Styczne: y = 2x − 1 i y = −2x − 1.
Najpierw szukasz x₀ (z warunku na nachylenie lub punkt), potem podstawiasz do y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀).
Wstawienie do wzoru punktu spoza wykresu jako (x₀, f(x₀)) albo pomylenie f′(x₀) z f(x₀).
✎Ściąga: Styczna do wykresu funkcji
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- y = f(x₀) + f′(x₀) · (x − x₀), gdzie x₀ to odcięta punktu styczności, f(x₀) jego rzędna, a f′(x₀) współczynnik kierunkowy stycznej.
- Najpierw szukasz x₀ (z warunku na nachylenie lub punkt), potem podstawiasz do y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀).
- Krok po kroku: f(x) = x³ − 3x, x₀ = 2.
- Równoległa do prostej y = 3x + 7: współczynnik kierunkowy ma być 3, więc f′(x₀) = 3. Dla f(x) = x²: 2x₀ = 3, x₀ = 3 przez 2. Punkt: (3 przez 2, 9 przez 4). Styczna: y = 9 przez 4 + 3(x − 3 przez 2) = 3x − 9 przez 4.
- Prostopadła do y = −1 przez 2x + 1: iloczyn współczynników ma być −1, więc f′(x₀) = 2. Dla x²: 2x₀ = 2, x₀ = 1.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Styczna do wykresu f(x) = x² w punkcie x₀ = 1 ma równanie
- Ay = x
- By = 2x − 1
- Cy = x²
- Dy = 2x + 1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: y = 2x − 1 – f(1) = 1, f′(1) = 2: y = 1 + 2(x − 1) = 2x − 1.
Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu f w punkcie x₀ to
- Ax₀
- Bf′(x₀)
- Cf(x₀)
- Df′(0)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: f′(x₀) – Pochodna jest nachyleniem stycznej.
Styczna do f(x) = x³ − 3x w x₀ = 2 ma równanie
- Ay = 9x + 2
- By = 2x − 3
- Cy = 9x − 16
- Dy = 9x − 2
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: y = 9x − 16 – f(2) = 2, f′(2) = 9, więc y = 2 + 9(x − 2) = 9x − 16.
W którym punkcie styczna do y = x² jest równoległa do y = 3x + 7?
- Ax₀ = 3 przez 2
- Bx₀ = 1 przez 2
- Cx₀ = 1
- Dx₀ = 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: x₀ = 3 przez 2 – f′(x₀) = 2x₀ = 3, więc x₀ = 3 przez 2.
Styczna do y = x² prostopadła do y = −1 przez 2x + 1 dotyka paraboli w x₀
- A−1
- B1 przez 2
- C2
- D1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 1 – Potrzebne nachylenie to 2, więc 2x₀ = 2, x₀ = 1.
Ile stycznych do paraboli y = x² przechodzi przez punkt P(0, −1) leżący pod parabolą?
- A0
- B2
- C4
- D1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 2 – Równanie −x₀² = −1 daje x₀ = 1 lub −1.
Prosta y = 2x − 1 dotyka paraboli y = x² w punkcie
- A(2, 3)
- B(−1, 1)
- C(0, −1)
- D(1, 1)
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: (1, 1) – Dla x₀ = 1 mamy f(1) = 1 i y = 2 · 1 − 1 = 1.
Gdy f′(x₀) = 0, styczna do wykresu w x₀ jest
- Anachylona pod kątem 45°
- Bniezdefiniowana
- Cpionowa
- Dpozioma
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: pozioma – Nachylenie 0 daje prostą y = f(x₀).
Cały dział „Granice i pochodna”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.