ogarniam.edu.pl
Klasa
Zacznij naukę →Zacznij →

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Granice i pochodnaklasa 4 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/4/matematyka/optymalizacja-z-pochodna/

Matematyka · Granice i pochodna · kl. 4 · zakres rozszerzony

Optymalizacja z pochodną

Zakres rozszerzony: największe pudełko, najtańsza puszka, najmniejszy koszt. Opisujesz wielkość funkcją jednej zmiennej i szukasz ekstremum pochodną.

ok. 3 min czytania8 fiszek8 pytań w quizie🔊 Posłuchaj notatki

1Plan rozwiązania

  • Krok 1: oznacz zmienną (np. x) i zapisz wielkość do optymalizacji jako funkcję tej jednej zmiennej.
  • Krok 2: ustal dziedzinę praktyczną (np. 0 < x < 6).
  • Krok 3: policz pochodną i jej zera w dziedzinie.
  • Krok 4: uzasadnij zmianą znaku f′ (albo porównaniem wartości), że to maksimum lub minimum.
  • Krok 5: odpowiedz – wartość zmiennej i szukanej wielkości z jednostką.
xxxxpodstawa12 − 2x12 cm12 cm2128max V(2) = 128 cm³46x [cm]V [cm³]
Pudełko z kwadratowej kartki 12 cm × 12 cm: największa objętość 128 cm³ dla x = 2 cm.

2Przykład 1: pudełko

  • Dane: kartka 12 cm × 12 cm, w rogach wycinamy kwadraty o boku x (cm).
  • Funkcja: podstawa ma bok 12 − 2x, wysokość x, więc V(x) = x(12 − 2x)², dla 0 < x < 6.
  • Pochodna: V′(x) = (12 − 2x)² − 4x(12 − 2x) = (12 − 2x)(12 − 6x). Zero w dziedzinie: x = 2.
  • Uzasadnienie: V′ > 0 dla x < 2, V′ < 0 dla x > 2, więc w x = 2 jest maksimum. V(2) = 2 · 8² = 128. Odpowiedź: x = 2 cm, V = 128 cm³.
Sprawdź, czy rozumiesz

W optymalizacji najpierw należy

3Przykład 2: puszka

  • Walec o objętości 500 cm³ ma mieć najmniejszą powierzchnię. r – promień (cm), h – wysokość (cm). Z V = πr²h mamy h = 500 przez πr².
  • Pole całkowite: S(r) = 2πr² + 2πrh = 2πr² + 1000 przez r, dla r > 0.
  • S′(r) = 4πr − 1000 przez r² = 0, więc r³ = 250 przez π, r ≈ 4,30 cm. Dla mniejszych r pochodna jest ujemna, dla większych dodatnia, więc to minimum.
  • h = 500 przez πr² ≈ 8,60 cm (to 2r). Pole: S ≈ 348,7 cm².
Zapamiętaj

Przy zadaniach z optymalizacją zawsze sprawdzaj, czy punkt z f′ = 0 leży w dziedzinie praktycznej i czy to maksimum (minimum), o które pytano.

Uwaga na błąd

Pominięcie dziedziny albo podanie x zamiast szukanej wielkości (objętości, pola) w odpowiedzi.

✎Ściąga: Optymalizacja z pochodną

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

  • Przy zadaniach z optymalizacją zawsze sprawdzaj, czy punkt z f′ = 0 leży w dziedzinie praktycznej i czy to maksimum (minimum), o które pytano.
  • Dane: kartka 12 cm × 12 cm, w rogach wycinamy kwadraty o boku x (cm).
  • Funkcja: podstawa ma bok 12 − 2x, wysokość x, więc V(x) = x(12 − 2x)², dla 0 < x < 6.
  • Pochodna: V′(x) = (12 − 2x)² − 4x(12 − 2x) = (12 − 2x)(12 − 6x). Zero w dziedzinie: x = 2.
  • Uzasadnienie: V′ > 0 dla x < 2, V′ < 0 dla x > 2, więc w x = 2 jest maksimum. V(2) = 2 · 8² = 128. Odpowiedź: x = 2 cm, V = 128 cm³.

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

  1. Pudełko powstaje z kartki 12 cm × 12 cm przez wycięcie kwadratów o boku x w rogach. Jego objętość to

    1. AV(x) = x(12 − 2x)²
    2. BV(x) = (12 − 2x)²
    3. CV(x) = x² (12 − 2x)
    4. DV(x) = x(12 − x)²
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: V(x) = x(12 − 2x)² – Podstawa ma bok 12 − 2x, wysokość x.

  2. Dziedzina praktyczna w zadaniu z pudełkiem to

    1. Ax ≥ 6
    2. B0 < x < 6
    3. C0 < x < 12
    4. Dx > 0
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 0 < x < 6 – Bok podstawy 12 − 2x musi być dodatni, więc x < 6.

  3. Dla V(x) = x(12 − 2x)² miejsce zerowe pochodnej w dziedzinie to

    1. Ax = 0
    2. Bx = 2
    3. Cx = 6
    4. Dx = 4
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: x = 2 – V′ = (12 − 2x)(12 − 6x), zero dla x = 2 (x = 6 jest brzegiem dziedziny).

  4. Największa objętość pudełka wynosi

    1. A64 cm³
    2. B100 cm³
    3. C144 cm³
    4. D128 cm³
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: 128 cm³ – V(2) = 2 · 8² = 128. Dla x = 1 jest 100, dla x = 3 jest 108.

  5. W x = 2 funkcja V ma maksimum, bo

    1. AV′ zmienia znak z + na −
    2. BV rośnie na całej dziedzinie
    3. CV′(2) > 0
    4. DV(2) jest liczbą całkowitą
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: V′ zmienia znak z + na − – Zmiana znaku pochodnej z dodatniej na ujemną wskazuje maksimum.

  6. Walec ma objętość 500 cm³. Pole całkowite zapisane przez promień to

    1. AS(r) = 2πr² + 1000 przez r
    2. BS(r) = 2πr² + 1000r
    3. CS(r) = πr² + 1000 przez r
    4. DS(r) = 2πr² + 500 przez r
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: S(r) = 2πr² + 1000 przez r – 2πrh = 2πr · 500 przez πr² = 1000 przez r.

  7. Dla puszki 500 cm³ minimalne pole osiągane jest przy promieniu około

    1. A8,6 cm
    2. B6 cm
    3. C2,5 cm
    4. D4,3 cm
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: 4,3 cm – r³ = 250 przez π daje r ≈ 4,30. Wartość 8,6 to wysokość.

  8. W optymalizacji najpierw należy

    1. Anarysować wykres bez wzoru
    2. Bpoliczyć pochodną bez funkcji
    3. Czapisać wielkość jako funkcję jednej zmiennej z dziedziną
    4. Dpodać odpowiedź
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: zapisać wielkość jako funkcję jednej zmiennej z dziedziną – Funkcja jednej zmiennej z dziedziną jest punktem wyjścia rachunku pochodnych.

Cały dział „Granice i pochodna”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytańFiszki · 8🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 4

Reguła mnożenia i reguła dodawaniaZliczanie z warunkamiPermutacje, wariacje i kombinacjeWłasności symbolu Newtona i dowód zliczającyPrzestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzeniaKlasyczna definicja prawdopodobieństwaDoświadczenia wieloetapowe: ze zwracaniem i bezZdarzenie przeciwne i suma zdarzeńDrzewo stochastycznePrawdopodobieństwo warunkoweNiezależność i prawdopodobieństwo całkowiteWzór BayesaSchemat BernoullegoGranica funkcji, granice jednostronne i ciągłośćObliczanie granic funkcjiWłasność Darboux i miejsca zerowePochodna funkcji: definicja i interpretacjeReguły różniczkowaniaMonotoniczność i ekstrema funkcjiStyczna do wykresu funkcjiKombinatoryka i prawdopodobieństwo na maturze: jak to ugryźćPochodna na maturze: typy zadań i parametrOptymalizacja z funkcją kwadratowąMatura podstawowa: funkcje, ciągi i geometria w jednym miejscu