1Definicja
f′(x₀) = lim(h→0) f(x₀ + h) − f(x₀) przez h, o ile granica istnieje i jest skończona. Tu x₀ to punkt, h to mały przyrost x, a iloraz to nachylenie siecznej.
- Krok po kroku: f(x) = x², x₀ = 1. Iloraz różnicowy: (1 + h)² − 1 przez h = 2h + h² przez h = 2 + h.
- Dla h = 1; 0,5; 0,1; 0,01 iloraz wynosi 3; 2,5; 2,1; 2,01.
- Granica przy h → 0: 2 + h → 2. Odpowiedź: f′(1) = 2.
2Interpretacje
- Geometryczna: f′(x₀) to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w punkcie (x₀, f(x₀)). Jeśli α jest kątem nachylenia stycznej do osi OX, to f′(x₀) = tg α. Dla f′(1) = 2: α ≈ 63,4°.
- Fizyczna: jeśli s(t) to droga w czasie t, to prędkość chwilowa v(t) = s′(t). Dla s(t) = t² (s w m, t w s) v(3) = 6 m/s.
Geometrycznie f′(x₀) jest
Styczna ma wzór y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀).
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Przykłady z definicji
- f(x) = x², x₀ = 3. Iloraz: (3 + h)² − 9 przez h = 6h + h² przez h = 6 + h. Granica: f′(3) = 6.
- f(x) = 1 przez x, x₀ = 2. Iloraz: 1 przez 2 + h − 1 przez 2 przez h = −1 przez 2(2 + h). Granica: f′(2) = −1 przez 4.
- f(x) = 3x + 1: iloraz to 3h przez h = 3, więc f′ = 3 w każdym punkcie (prosta ma stałe nachylenie).
4Ciągłość a pochodna
- Funkcja mająca pochodną w punkcie jest w nim ciągła. Odwrotnie nie zawsze: |x| jest ciągła w 0, ale ilorazy różnicowe to +1 (z prawej) i −1 (z lewej), więc f′(0) nie istnieje (wykres ma „szpic”).
f′(x₀) to granica ilorazu różnicowego. Geometrycznie: nachylenie stycznej. Fizycznie: prędkość chwilowa.
Nazwanie nachylenia siecznej pochodną. Sieczna daje tylko przybliżenie, a pochodna to granica przy h → 0.
Pochodna funkcji f w punkcie x₀ to
Definicja: f′(x₀) = lim(h→0) f(x₀ + h) − f(x₀) przez h.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
✎Ściąga: Pochodna funkcji: definicja i interpretacje
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- f′(x₀) = lim(h→0) f(x₀ + h) − f(x₀) przez h, o ile granica istnieje i jest skończona. Tu x₀ to punkt, h to mały przyrost x, a iloraz to nachylenie siecznej.
- f′(x₀) to granica ilorazu różnicowego. Geometrycznie: nachylenie stycznej. Fizycznie: prędkość chwilowa.
- Krok po kroku: f(x) = x², x₀ = 1. Iloraz różnicowy: (1 + h)² − 1 przez h = 2h + h² przez h = 2 + h.
- Geometryczna: f′(x₀) to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w punkcie (x₀, f(x₀)). Jeśli α jest kątem nachylenia stycznej do osi OX, to f′(x₀) = tg α. Dla f′(1) = 2: α ≈ 63,4°.
- Fizyczna: jeśli s(t) to droga w czasie t, to prędkość chwilowa v(t) = s′(t). Dla s(t) = t² (s w m, t w s) v(3) = 6 m/s.
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Pochodna funkcji f w punkcie x₀ to
- Agranica ilorazu różnicowego przy h → 0
- Bnajwiększa wartość f
- Cwartość f(x₀)
- Dpole pod wykresem
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: granica ilorazu różnicowego przy h → 0 – Definicja: f′(x₀) = lim(h→0) f(x₀ + h) − f(x₀) przez h.
Dla f(x) = x² z definicji f′(3) wynosi
- A2
- B9
- C3
- D6
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 6 – Iloraz to 6 + h, granica 6.
Dla f(x) = 1 przez x z definicji f′(2) wynosi
- A1 przez 4
- B−1 przez 2
- C2
- D−1 przez 4
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: −1 przez 4 – Iloraz to −1 przez 2(2 + h), granica −1 przez 4.
Geometrycznie f′(x₀) jest
- Adługością wykresu
- Bpolem pod wykresem
- Cwspółczynnikiem kierunkowym stycznej w punkcie (x₀, f(x₀))
- Dmiejscem zerowym
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: współczynnikiem kierunkowym stycznej w punkcie (x₀, f(x₀)) – Styczna ma wzór y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀).
Droga ciała to s(t) = t² (s w m, t w s). Prędkość chwilowa w t = 3 s wynosi
- A3 m/s
- B6 m/s
- C9 m/s
- D2 m/s
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 6 m/s – v(t) = s′(t) = 2t, więc v(3) = 6 m/s.
Funkcja |x| w punkcie 0
- Ama pochodną 0
- Bjest ciągła, ale nie ma pochodnej
- Cnie jest ciągła
- Dma pochodną 1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: jest ciągła, ale nie ma pochodnej – Iloraz różnicowy to +1 z prawej i −1 z lewej, granica nie istnieje.
Jeśli f ma pochodną w punkcie x₀, to f w x₀ jest
- Arówna zeru
- Bciągła
- Crosnąca
- Dnieokreślona
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: ciągła – Różniczkowalność pociąga ciągłość, ale nie odwrotnie.
Dla f(x) = x² iloraz różnicowy w x₀ = 1 dla h = 0,1 wynosi
- A0,21
- B2,1
- C2
- D1,1
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź B: 2,1 – 1,1² − 1 przez 0,1 = 0,21 przez 0,1 = 2,1.
Cały dział „Granice i pochodna”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.