1Znak pochodnej a wykres
- Jeśli f′ > 0 na przedziale, to f na nim rośnie. Jeśli f′ < 0, to f maleje.
- Ekstremum lokalne w x₀: f′ zmienia znak. Z plusa na minus to maksimum, z minusa na plus to minimum.
- f′(x₀) = 0 to warunek konieczny, ale niewystarczający. Dla f(x) = x³ mamy f′(0) = 0, a ekstremum nie ma, bo f′ = 3x² jest po obu stronach dodatnie.
2Przykład krok po kroku
- Dane: f(x) = x³ − 3x, D = ℝ.
- Pochodna: f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Zera pochodnej: x = −1 i x = 1.
- Znak f′: dodatni dla x < −1, ujemny dla −1 < x < 1, dodatni dla x > 1.
- Wniosek: f rośnie na (−∞, −1⟩ i ⟨1, +∞), maleje na ⟨−1, 1⟩. Maksimum lokalne f(−1) = 2, minimum lokalne f(1) = −2.
Jeśli f′(x) > 0 na przedziale, to na nim f jest
Dodatnia pochodna oznacza rosnącą funkcję.
To jedno z 8 pytań quizu. Rozwiąż cały quiz →
3Największa i najmniejsza wartość na przedziale
- Na przedziale domkniętym ⟨a, b⟩ porównaj wartości f w punktach, gdzie f′ = 0, i na końcach przedziału.
- Przykład: f(x) = 2x³ − 9x² + 12x na ⟨0, 3⟩. f′ = 6x² − 18x + 12 = 6(x − 1)(x − 2). Wartości: f(0) = 0, f(1) = 5, f(2) = 4, f(3) = 9. Największa jest 9 (w x = 3, na końcu), najmniejsza 0 (w x = 0).
Szukasz zer pochodnej, badasz zmianę jej znaku i porównujesz wartości w tych punktach oraz na końcach przedziału.
Uznanie każdego punktu z f′ = 0 za ekstremum albo pominięcie końców przedziału przy wartości największej i najmniejszej.
✎Ściąga: Monotoniczność i ekstrema funkcji
Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.
- Szukasz zer pochodnej, badasz zmianę jej znaku i porównujesz wartości w tych punktach oraz na końcach przedziału.
- Ekstremum lokalne w x₀: f′ zmienia znak. Z plusa na minus to maksimum, z minusa na plus to minimum.
- f′(x₀) = 0 to warunek konieczny, ale niewystarczający. Dla f(x) = x³ mamy f′(0) = 0, a ekstremum nie ma, bo f′ = 3x² jest po obu stronach dodatnie.
- Dane: f(x) = x³ − 3x, D = ℝ.
- Pochodna: f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). Zera pochodnej: x = −1 i x = 1.
- Znak f′: dodatni dla x < −1, ujemny dla −1 < x < 1, dodatni dla x > 1.
- Wniosek: f rośnie na (−∞, −1⟩ i ⟨1, +∞), maleje na ⟨−1, 1⟩. Maksimum lokalne f(−1) = 2, minimum lokalne f(1) = −2.
- Przykład: f(x) = 2x³ − 9x² + 12x na ⟨0, 3⟩. f′ = 6x² − 18x + 12 = 6(x − 1)(x − 2). Wartości: f(0) = 0, f(1) = 5, f(2) = 4, f(3) = 9. Największa jest 9 (w x = 3, na końcu), najmniejsza 0 (w x = 0).
?Quiz: powtórz przed kartkówką
8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.
Jeśli f′(x) > 0 na przedziale, to na nim f jest
- Amalejąca
- Bstała
- Cnieciągła
- Drosnąca
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: rosnąca – Dodatnia pochodna oznacza rosnącą funkcję.
Pochodna f(x) = x³ − 3x to
- Ax² − 3
- B3x − 3
- C3x²
- D3x² − 3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 3x² − 3 – (x³)′ = 3x², (3x)′ = 3.
Funkcja f(x) = x³ − 3x ma maksimum lokalne w punkcie
- Ax = 1
- Bx = 3
- Cx = −1
- Dx = 0
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: x = −1 – f′ zmienia znak z + na − w x = −1, f(−1) = 2.
Najmniejsza wartość lokalna f(x) = x³ − 3x to
- A0
- B2
- C−2
- D−3
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: −2 – Minimum w x = 1: f(1) = 1 − 3 = −2.
Dla f(x) = x³ warunek f′(0) = 0 oznacza, że w 0 jest
- Aasymptota
- Bmaksimum
- Cbrak ekstremum
- Dminimum
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: brak ekstremum – f′ = 3x² ≥ 0, więc pochodna nie zmienia znaku.
f(x) = 2x³ − 9x² + 12x na ⟨0, 3⟩. Wartość największa to
- A5
- B4
- C9
- D12
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź C: 9 – f(3) = 54 − 81 + 36 = 9, więcej niż f(1) = 5.
Ta sama funkcja i przedział. Wartość najmniejsza to
- A4
- B−1
- C5
- D0
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź D: 0 – f(0) = 0 jest mniejsze niż f(2) = 4 (minimum lokalne).
Do znalezienia największej wartości na przedziale ⟨a, b⟩ porównujesz
- Awartości w zerach f′ i na końcach przedziału
- Bsame zera f′
- Csame końce
- Dwartości f′
Sprawdź odpowiedź
Odpowiedź A: wartości w zerach f′ i na końcach przedziału – Największa wartość może być w punkcie krytycznym albo na końcu.
Cały dział „Granice i pochodna”: ściąga i próbny sprawdzian →
Kartkówka albo sprawdzian już blisko?
Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.