ogarniam.edu.pl
Klasa
Zacznij naukę →Zacznij →

ogarniam.edu.pl · Matematyka · Granice i pochodnaklasa 4 LO · fiszki i quiz: ogarniam.edu.pl/lo/4/matematyka/wlasnosc-darboux-i-miejsca-zerowe/

Matematyka · Granice i pochodna · kl. 4 · zakres rozszerzony

Własność Darboux i miejsca zerowe

Zakres rozszerzony: jeśli funkcja ciągła zmienia znak, musi gdzieś przejść przez zero. Dzięki temu możesz wykazać, że równanie ma rozwiązanie, nawet gdy nie umiesz go rozwiązać.

ok. 3 min czytania8 fiszek8 pytań w quizie🔊 Posłuchaj notatki

1Twierdzenie

  • Jeśli f jest ciągła na przedziale ⟨a, b⟩ i f(a) · f(b) < 0 (wartości mają różne znaki), to istnieje c ∈ (a, b), dla którego f(c) = 0.
  • Ogólniej: f przyjmuje każdą wartość pomiędzy f(a) a f(b). Tu a, b to końce przedziału, a c to szukany punkt.
xy0−112−2−112f(0) = −1f(1) = 1c ≈ 0,68
Funkcja ciągła x³ + x − 1: f(0) = −⁠1 < 0, f(1) = 1 > 0, więc w (0, 1) jest zero.

2Przykłady krok po kroku

  • Dane: f(x) = x³ + x − 3, wykaż, że równanie f(x) = 0 ma rozwiązanie w przedziale (1, 2).
  • Krok 1: f jest wielomianem, więc jest ciągła na ⟨1, 2⟩.
  • Krok 2: f(1) = 1 + 1 − 3 = −⁠1 < 0 oraz f(2) = 8 + 2 − 3 = 7 > 0, więc f(1) · f(2) < 0.
  • Krok 3 (wniosek): z własności Darboux istnieje c ∈ (1, 2), takie że f(c) = 0.
  • Szukanie przybliżenia (połowienie): f(1,5) = 1,875 > 0, więc zero jest w (1; 1,5). f(1,25) ≈ 0,203 > 0, więc w (1; 1,25). f(1,125) ≈ −⁠0,451 < 0, więc w (1,125; 1,25). Zero jest w tym wąskim przedziale (ok. 1,21).
  • Dwa zera naraz: f(x) = x⁴ + x − 3. f(1) = −⁠1, f(2) = 15, więc zero jest w (1, 2). Ale f(−⁠1) = −⁠3, f(−⁠2) = 11, więc kolejne zero jest w (−⁠2, −⁠1).
Sprawdź, czy rozumiesz

Dla f(x) = 1 przez x mimo że f(−⁠1) < 0 i f(1) > 0, zera nie ma, bo

3Uwaga o założeniach

  • Dla f(x) = 1 przez x mamy f(−⁠1) · f(1) < 0, a zera nie ma, bo f nie jest ciągła w 0.
  • Twierdzenie nie mówi, ile jest zer ani ile wynoszą. Gwarantuje tylko, że jakieś jest.
Zapamiętaj

f ciągła na ⟨a, b⟩ i f(a) · f(b) < 0 gwarantuje istnienie zera w (a, b).

Uwaga na błąd

Pominięcie sprawdzenia ciągłości albo wniosek, że zero jest jedno. Twierdzenie nie daje jedyności.

✎Ściąga: Własność Darboux i miejsca zerowe

Najważniejsze w pigułce – przeczytaj tuż przed kartkówką lub sprawdzianem.

  • f ciągła na ⟨a, b⟩ i f(a) · f(b) < 0 gwarantuje istnienie zera w (a, b).
  • Dane: f(x) = x³ + x − 3, wykaż, że równanie f(x) = 0 ma rozwiązanie w przedziale (1, 2).
  • Szukanie przybliżenia (połowienie): f(1,5) = 1,875 > 0, więc zero jest w (1; 1,5). f(1,25) ≈ 0,203 > 0, więc w (1; 1,25). f(1,125) ≈ −⁠0,451 < 0, więc w (1,125; 1,25). Zero jest w tym wąskim przedziale (ok. 1,21).
  • Dwa zera naraz: f(x) = x⁴ + x − 3. f(1) = −⁠1, f(2) = 15, więc zero jest w (1, 2). Ale f(−⁠1) = −⁠3, f(−⁠2) = 11, więc kolejne zero jest w (−⁠2, −⁠1).

?Quiz: powtórz przed kartkówką

8 pytań w stylu kartkówki i sprawdzianu. Odpowiedz w myślach, potem sprawdź odpowiedź. Rozwiąż quiz z wynikiem – każda odpowiedź ma wyjaśnienie.

  1. Które założenie jest niezbędne w twierdzeniu o miejscu zerowym?

    1. Aa i b są całkowite
    2. Bf jest wielomianem stopnia 3
    3. Cf jest rosnąca
    4. Df jest ciągła na ⟨a, b⟩
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: f jest ciągła na ⟨a, b⟩ – Bez ciągłości funkcja może „przeskoczyć” zero.

  2. f(x) = x³ + x − 1. Równanie f(x) = 0 ma rozwiązanie w

    1. A(0, 1)
    2. B(−⁠1, 0)
    3. C(2, 3)
    4. D(1, 2)
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: (0, 1) – f(0) = −⁠1 < 0 i f(1) = 1 > 0.

  3. Dla f(x) = x³ + x − 3 mamy f(1) =

    1. A−⁠3
    2. B3
    3. C−⁠1
    4. D1
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź C: −⁠1 – 1 + 1 − 3 = −⁠1.

  4. Dla f(x) = x³ + x − 3 mamy f(2) =

    1. A3
    2. B7
    3. C5
    4. D11
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź B: 7 – 8 + 2 − 3 = 7.

  5. Po policzeniu f(1,5) > 0 i f(1) < 0 wiadomo, że zero leży w

    1. A(1,5; 2)
    2. B(2; 3)
    3. C(0; 1)
    4. D(1; 1,5)
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź D: (1; 1,5) – Zmiana znaku zachodzi między x = 1 a x = 1,5.

  6. Dla f(x) = 1 przez x mimo że f(−⁠1) < 0 i f(1) > 0, zera nie ma, bo

    1. Af nie jest ciągła w 0
    2. Bf jest malejąca
    3. Cf jest parzysta
    4. Df(0) = 1
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: f nie jest ciągła w 0 – Przedział ⟨−⁠1, 1⟩ zawiera punkt 0, w którym f nie jest określona.

  7. Twierdzenie o zerze ciągłej funkcji gwarantuje

    1. Aistnienie co najmniej jednego zera
    2. Bże funkcja jest monotoniczna
    3. Cdokładną wartość zera
    4. Distnienie dokładnie jednego zera
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: istnienie co najmniej jednego zera – Mówi tylko, że co najmniej jedno zero istnieje.

  8. f(x) = x⁴ + x − 3. Ile przedziałów zmiany znaku znajdziesz wśród (1, 2) i (−⁠2, −⁠1)?

    1. Aoba
    2. Bżadnego
    3. Ctylko (−⁠2, −⁠1)
    4. Dtylko (1, 2)
    Sprawdź odpowiedź

    Odpowiedź A: oba – f(1) = −⁠1, f(2) = 15 oraz f(−⁠2) = 11, f(−⁠1) = −⁠3, w obu przedziałach znak się zmienia.

Cały dział „Granice i pochodna”: ściąga i próbny sprawdzian →

Kartkówka albo sprawdzian już blisko?

Rozwiąż quiz z wynikiem i powtórz materiał na fiszkach. Każda odpowiedź ma wyjaśnienie, a postęp zapisuje się bez zakładania konta.

Rozwiąż quiz · 8 pytańFiszki · 8🔊 Posłuchaj notatki

Więcej: Matematyka, klasa 4

Reguła mnożenia i reguła dodawaniaZliczanie z warunkamiPermutacje, wariacje i kombinacjeWłasności symbolu Newtona i dowód zliczającyPrzestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzeniaKlasyczna definicja prawdopodobieństwaDoświadczenia wieloetapowe: ze zwracaniem i bezZdarzenie przeciwne i suma zdarzeńDrzewo stochastycznePrawdopodobieństwo warunkoweNiezależność i prawdopodobieństwo całkowiteWzór BayesaSchemat BernoullegoGranica funkcji, granice jednostronne i ciągłośćObliczanie granic funkcjiPochodna funkcji: definicja i interpretacjeReguły różniczkowaniaMonotoniczność i ekstrema funkcjiStyczna do wykresu funkcjiOptymalizacja z pochodnąKombinatoryka i prawdopodobieństwo na maturze: jak to ugryźćPochodna na maturze: typy zadań i parametrOptymalizacja z funkcją kwadratowąMatura podstawowa: funkcje, ciągi i geometria w jednym miejscu